Реферат: Hpor

2) 1) Если |a|>1, то уравнение cos x = a решений не имеет, так как |cos x|<=1 для любого x. 2) Рассмотрим случай |a|<=1(рис 35) а) На примежудке [0;Пи] функция y=cosx убывает, значит, уравнение cosx=a имеет один корень x=arccos a. Учитывается, что функция y=cos x – периодическая с периодом 2Пиn, запишем все решения уравнения cosx=a на промежутке [2Пиn; Пи+2Пиn], n принадлежит Z, в виде x = arccos a+ 2Пиn, где n принадлежит Z. Б) На промежутке [-Пи; 0] функция y =cosx возрастает, следовательно, уравнение cosx=a имеет один корень, а именно,x=-arccos a. Учитывая периодичность функции y= cos. Делаем вывод, что решением уравнения cos x = a на промежудке [-Пи+2Пи; 2Пиn], где n принадлежит Z, являются числа вида x=-arccos a + 2 Пиn, где n принадлежит Z. Таким образом, все ершения уравнения могут быть записаны так: x=+-arccos a + 2Пиn, где n принадлежит Z.

Билет № 7

1) Пусть на некотором промежутке задана функция y=f(x); x0-точка этого промежутка; Dx-приращение аргумента х; точка х0+ Dx принадлежит этому промежутку; Dy-приращение функции. Предел отношения (если он существует) приращения функции к приращению аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю называется производной функции в точке. Пусть задана дифференцируемая функция y=f(x) (рис.36). Геометрический смысл производной состоит в том, что значение производной функции в точке x0 равно угловому коэффициенту касательной, проведённой к графику функции в точке с абсциссой x0: f’(x0)=R, где R-угловой коэффициент касательной.

2) 1) На промежутке (-Пи.2 ; Пи.2) функция y=tgx возрастает, значит, на этом промежутке, по теореме о корне, уравнение tgx=a имеет один корень, а именно, x=arctg a (рис 37). 2) Учитывая, что период тангенса равен Пиn, все решения определяются формулой x=arctg a + Пиn, nпринадлежит Z.

Билет №8

1) Пусть ф-ция f(x) задана на некотором промежутке, а –точка этого промежутка. Если для ф-ции выполняется приближенное равенство f(x) »f(a)

с любой , наперед заданной точностью, для всех х , близки х к а , то говорят , что ф-ция непрерывна в точке а. Иными словами ф-ция f непрерывна в точке а , если f(x) ®f(a) при х ®а.

Ф-ция непрерывная в каждой точке промежутка наз-ся непрерывной на промежутке.

Гр. непрерывной на промежутке ф-ции представляет собой непрерывную линию. Иными словами гр. можно нарисовать не отрывая карандаша от бумаги.

Например ф-ция f(x)=3^x непрерывна в точке х0=2.Действаительно 3^x ®3^2, при х®2. Ф-ция f(x)=3^x непрерывна на множестве всех действительных чисел , а ее график можно нарисовать не отрывая карандаша от бумаги.

2) Арифметическим корнем n-ой степени из числа а наз-ся неотрицательное число n-ая степень к-рого равна а.

Св-ва корней: Для любых натуральных n, целого k и любых неотрицательных чисел a и b выполняются следующие св-ва:

1. N sqr ab= n sqr a * n sqr b

2. n sqr (a/b)= (n sqr a)/( n sqr b) b ¹0

3. n sqr (k sqr a)= kn sqr (a), k> 0

4. n sqr (a) = kn sqr (a^k) ,k>0

5. n sqr (a^k)=( n sqr a)^k (ели k£0,то а¹0)

6. Для любых неотрицательных чисел а и b таких, что а < b выполняется неравенство:

n sqr a< n sqr b, если 0£a<b

Док-во св-ва №5: По опр-нию корня n-ой степени (n sqr a^k)^n=a^k; (n sqr a)^k³0, так как n sqr a³0. Найдем n-ю степень выражения (n sqr a)^k. По св-ву возведения степени в степень ((n sqr a)^k)^n=(n sqr a)^nk=(( n sqr a)^n)^k;по определению корня n-ой степени ((n sqr a)^n)^k=a^k.

Следовательно n sqr a^k=( n sqr a)^k.

Билет №9

1. Все рациональные и дробно-рациональные ф-ции непрерывны на всей области определения. Этот факт следует из того что рациональные и дробно-рациональные ф-ции дефференцируемы во всех точках своих областей опр-ия.

Например: ф-ция f(x)=x^3-7X^2+24x непрерывна на множестве действительных чисел; а ф-ция g(x)=(x^3+8)/(x-2) непрерывна на промежутке (-¥:2) и на промежутке (2;+ ¥)

2. Логарифмом числа b наз-ся показатель степени в к-рую нужно возвести основание а чтобы получить число b.

Из опр-ия имеем: a^ logab =b (осн-ое лог-ое тождесто)

Св-ва логарифмов: При любом а>0(а¹1), и любых пол-ных х и у выполняются следующие св-ва:

1) loga1=0

2) logaа=1