Реферат: Интеграл Пуассона

Пусть ¦(x ) , g (x ),x ÎR¹ –суммируемые на [-p, p] , 2p- периодические, комплекснозначные функции. Через f * g(x) будем обозначать свертку

f * g(x) =dt

Из теоремы Фубини легко следует, что свертка суммируемых функций также суммируема на [-p,p]и

c_n ( f*g ) = c_n ( f )× c_n ( g ) , n = 0, ±1 , ±2 , ... ( 1 )

где {c_n ( f )} -- коэффициенты Фурье функции f ( x ) :

c_n = ^{-i n t} dt , n = 0, ±1,±2,¼

Пусть ¦ÎL¹ (-p,p) . Рассмотрим при 0£r <1 функцию

¦_r ( x ) = _n ( f ) r^{| n |} e^{i n x} , x Î[-p,p] , ( 2 )

где ряд в правой части равенства (2) сходится равномерно по х для любого фиксированного r , 0£r <1 . Коэффициенты Фурье функции ¦_r (х)равны

c_n ( f_r ) = c_n × r^{| n |} , n = 0 , ±1,±2,¼, а это согласно (1) значит, что ¦_r ( x ) можно представить в виде свертки :

¦_r ( x ) = , ( 3 )

где

, t Î[-p,p]. ( 4 )

Функция двух переменных Р_r (t) , 0 £r<1 , t Î[-p,p] , называется ядром Пуассона , а интеграл (3) -- интегралом Пуассона .

Следовательно,

P_r ( t ) = , 0£r <1, t Î[-p,p] . ( 5 )

Если ¦Î L¹ ( -p,p ) -действительная функция , то , учитывая , что

c_-n ( f ) = `c_n ( f ) , n = 0,±1,±2,¼,из соотношения (2) мы получим :

f_r ( x ) =

=, ( 6 )

где

F ( z ) = c₀ ( f ) + 2 ( z = re^ix ) ( 7 )

- аналитическая в единичном круге функция . Равенство (6) показывает, что для любой действительной функции ¦ÎL¹ ( -p, p ) интегралом Пуассона (3) определяется гармоническая в единичном круге функция

u ( z ) = ¦_r (e^ix ) , z = re^ix , 0 £ r <1 , x Î [ -p, p ] .

При этом гармонически сопряженная с u (z) функция v (z) c v (0) = 0 задается формулой

v (z) = Im F (z) = . ( 8 )

Утверждение1.

Пусть u (z) - гармоническая ( или аналитическая ) в круге |z |<1+e(e>0)функция и ¦ (x) = u (e^ix ) , xÎ[-p, p] . Тогда

--> ЧИТАТЬ ПОЛНОСТЬЮ <--