Реферат: Интеграл Пуассона

Пусть функция суммируема на любом интервале (-А, А), А > 0 . Максимальной функцией для функции называется функция

где супремум берется по всем интервалам I , содержащим точку х.

Определение 2.

Оператор называется оператором слабого типа (р,р) , если для любого y > 0

.

Теорема 2 (Фату).

Пусть - комплекснозначная функция из . Тогда

для п.в. .

Доказательство.

Покажем, что для и

, ( 13 )

где С - абсолютная константа , а M ( f, x ) - максимальная функция для f (x) [*] . Для этой цели используем легко выводимую из (5) оценку

(К - абсолютная константа).

Пусть - такое число, что

.

Тогда для

.

Неравенство (13) доказано. Используя затем слабый тип (1,1) оператора , найдем такую последовательность функций ,что

,

( 14 )

для п.в. .

Согласно (13) при xÎ (-2p,2p)

Учитывая , что по теореме 1 для каждого xÎ [-p,p] и (14)

Из последней оценки получим