Реферат: Історія математики Греції

Що стосується теореми Піфагора, піфагорійці приписували її своєму наставнику і передавали, що він приніс у жертву богам сто биків на подяку. Ми вже бачили, що ця теорема була відома у Вавилоні часів Хаммураппі, але дуже можливо, що перший загальний доказ був отриманий у школі піфагорійців.

Найбільш важливим серед приписуваних піфагорійцям відкриттів було відкриття ірраціонального у виді непорівнянних відрізків прямої лінії. Можливо, що воно було зроблено в зв'язку з дослідженням геометричного середнього a:b = b:c, величиною, що цікавила піфагорійців і служила символом аристократії. Чому дорівнює геометричне середнє одиниці і двійки, двох священних символів? Це вело до вивчення відносини сторін і діагоналі квадрата, і було виявлено, що таке відношення не виражається "числом", тобто тим, що ми тепер називаємо раціональним числом (цілим чи числом дробом), а тільки такі числа допускалися піфагорійською арифметикою.

Припустимо, що це відношення дорівнює р : q, де цілі числа р и q ми завжди можемо вважати взаємно простими. Тоді р2 = 2q отже, р2, а з ним і р - парне число, і нехай р = 2r. Тоді q повинно бути непарним, але, тому що q2 = 2r2, воно повинно бути також парним. Таке протиріччя дозволялося не розширенням поняття числа, як на чи Сході в Європі епохи Відродження, а тим, що теорія чисел для таких випадків відкидалася, синтез же шукали в геометрії.

Це відкриття, що порушило невимушену гармонію арифметики і геометрії, імовірно, було зроблено в останні десятиліття п'ятого сторіччя до н.е.. Поверх того, виявилися інші труднощі - виявилася в розуміннях про реальність змін, і цим філософи займаються до наших днів. Відкриття цих нових труднощів приписують Зенонові Элейському (близько 450 р. до н.е. ), учню Парменіда, філософа-консерватора, що учив, що розум осягає тільки абсолютне буття і що зміна є тільки удаване. Це придбало математичне значення тоді, коли в зв'язку з такими задачами, як визначення обсягу піраміди, сталі займатися нескінченними процесами. Тут парадокси Зенона виявилися в протиріччі з деякими давніми й інтуїтивними представленнями відносно нескінченно малого і нескінченно великого. Завжди вважали, що суму нескінченно багатьох величин можна зробити як завгодно великий, навіть якщо кожна величина вкрай мала, а також що сума кінцевого чи нескінченного числа величин розміру нуль дорівнює нулю. Критика Зенона була спрямована проти таких представлень, і його чотири парадокси викликали таке хвилювання, що і зараз можна спостерігати деякі брижі. Ці парадокси дійшли до нас завдяки Аристотелю і відомі під назвами Ахіллес, Стріла, Дихотомія (розподіл на два) і Стадіони. Вони сформульовані так, щоб підкреслити протиріччя в поняттях руху і часу, але це зовсім не спроба дозволити такі протиріччя.

Парадокси Ахіллес і Дихотомія, що ми викладемо своїми словами, роз'яснять нам суть цих міркувань.

Ахіллес. Ахіллес і черепаха рухаються в одному напрямку по прямій. Ахіллес куди швидше черепахи, але, щоб її нагнати, йому треба спочатку пройти точку Р, з якої черепаха почала рух. Коли Ахіллес потрапить у Р, черепаха просунеться в точку Р1. Ахіллес не може наздогнати черепаху, поки не потрапить у P1 але черепаха при цьому просунеться в нову точку Р2. Якщо Ахіллес знаходиться в Р2, черепаха виявляється в новій точці Р3 і т.д. Отже, Ахіллес ніколи не може наздогнати черепаху.

Дихотомія. Допустимо, що я хочу пройти від А до В по прямій. Щоб досягти В, мені треба спочатку пройти половину (АВ1) відстані АВ; щоб досягти В2, я повинний спочатку досягти В2 на півдороги від А до В1 і так до нескінченності, так що рух ніколи не зможе початися.

Аргументи Зенона показали, що кінцевий відрізок можна розбити на нескінченне число малих відрізків, кожний з який - кінцевої довжини. Вони показали також, що ми натрапляємо на труднощі при поясненні того, який зміст заяви, що пряма "складається" із крапок. Дуже імовірно, що сам Зенон не мав представлення про те, до яких математичних висновків приводять його міркування. Проблеми, що привели до парадоксів Зенона, незмінно виникають у ході філософських і теологічних дискусій. Ми в них бачимо проблеми, зв'язані з відношенням, потенційної й актуальної нескінченності. Утім, Поль Таннері вважав, що міркування Зенона насамперед були спрямовані проти піфагорійского представлення простору як суми крапок ("крапка є одиниця положення"). Як би справа ні обстояла, безсумнівно, що міркування Зенона впливали на математичну думку багатьох поколінь. Його парадокси можна зіставити з млой, якими користався в 1734 р. єпископ Берклі, показуючи, до яких логічних безглуздостей може привести погане формулювання положень математичного аналізу, але не пропонуючи зі своєї сторони кращого обґрунтування.

Після відкриття ірраціонального розуміння Зенона стали навіть ще більше турбувати математиків. Чи можлива математика як точна наука? Таннері думав, що ми можемо говорити про "дійсний логічний скандал" - про кризу грецької математики. Якщо справа обстояла саме так, то ця криза починається під кінець Пелопонесської війни, що закінчилася падінням Афін (404 р. до н, е.). Тоді ми можемо знайти зв'язок між кризою в математику і кризою суспільної системи, тому що падіння Афін означало смертний вирок пануванню рабовласницької демократії і початок нового періоду верховенства аристократії - криза, що була дозволена вже в дусі нової епохи.

Для цього нового періоду грецької історії характерно те, що росте багатство визначеної частини правлячих класів і так само ростуть убогість і незабезпеченість бідняків. Правлячі класи усе більше засобів для існування одержували за рахунок рабської праці. Це давало їм дозвілля для занять мистецтвом і наукою, але заодно усе більш підсилювало їхню неприхильність до фізичної праці. Ці дозвільні добродії з презирством відносилися до праці рабів і ремісників, і. заспокоєння від турбот вони шукали в заняттях філософією й етикою індивідуума. На таких позиціях коштували Платон і Аристотель. У "Республіці" Платона (написаної, імовірно, близько 360 р. до н.е. ) ми знаходимо саме чітке вираження ідеалів рабовласницької аристократії. "стражі" у республіці Платона повинні вивчати "квадривіум", що складається з арифметики, геометрії, астрономії і музики, для того щоб розуміти закони всесвіту.

Така інтелектуальна атмосфера (принаймні , у своєму ранньому періоді) була сприятлива для обговорення основ математики і для умоглядної космогонії. Частина сторінки з першого видання "Початків" Евкліда, 1482 р.

Щонайменше три великих математики цього періоду були зв'язані з Академією Платона, а саме Архіт, Теєтет (розум. у 369 р.) і Євдокс (ок.408-355). Теєтету приписують ту теорію ірраціональних, котра викладена в десятій книзі "Початків" Евкліда. Ім'я Евдокса зв'язане з теорією відносин, що Евклід дає у своїй п'ятій книзі, а також з так званим методом вичерпування, що дозволив строго проводити обчислення площ і обсягів. Це означає, що саме Євдокс переборов "кризу" у грецькій математиці і що його строгі формулювання допомогли визначити напрямок розвитку грецької аксіоматики і, значною мірою , усієї грецької математики.

Евдоксова теорія відносин покінчила з арифметичною теорією піфагорійців, застосовної тільки до сумірних величин. Це була чисто геометрична теорія, викладена в строгій аксіоматичній формі, і вона зробила зайвими які-небудь застереження щодо чи несумірності сумірності розглянутих величин.

Сучасна теорія ірраціонального числа, побудована Дедекиндом і Вейерштрассом, майже буквально випливає ходу думок Евдокса, але вона відкриває значно більш широкі перспективи завдяки використанню сучасних математичних методів.

"Метод вичерпування" (термін "вичерпування" уперше з'являється в Григорія Сен Венсана, 1647 р.) був відповіддю школи Платона Зенонові. Метод обходив усі пастки нескінченно малого, попросту усуваючи їх, тому що зводив проблеми, у яких могли з'явитися нескінченно малі, до проблем, розв'язуваним засобами формальної логіки. Наприклад, якщо було потрібно довести, що обсяг V тетраедра дорівнює однієї третини обсягу З призми з тією же підставою і тією же висотою, то доказ полягав у тому, щоб показати абсурдність як допущення, що V, так і допущення, що. Для цього була введена аксіома, відома тепер як аксіома Архімеда. Вона лежить в основі теорії відносин Евдокса, а саме: "про ті величини говорять, що вони знаходяться в деякім відношенні одна до іншої, котрі можуть, будучи помножені, перевершити одна іншу" (Евклід V, Визначення 4). Цей метод, що у греків в епоху Відродження став стандартним методом точного доказу при обчисленні площ і обсягів, був цілком строгий, і його легко перетворити на доказ, що відповідає вимогам сучасної математики.

Великим недоліком цього методу було те, що треба було заздалегідь знати результат, щоб його довести, так що математик повинний був спершу прийти до результату менш строгим шляхом, за допомогою проб і спроб.

Є ясні вказівки на те, що такого роду інший метод дійсно використовувався. Ми маємо у своєму розпорядженні лист Архімеда Ератосфену (близько 250 р. до н.е. ), що було виявлено лише в 1906 р. і в який Архімед описує нестрогий, але плідний спосіб одержання результатів. Це лист відомий за назвою "Метод". С. Лур'є висунув припущення, що в ньому виражені погляди математичної школи, що суперничала зі школою Евдокса, виникла, як і та, у період кризи і зв'язана була з Демокрітом, засновником атомістики. Відповідно до теорії Лур'є, школа Демокрита ввела поняття "геометричного атома". Передбачалося, що відрізок прямої, площа, обсяг складаються з великого, але кінцевого числа неподільних "атомів". Обчислення обсягу тіла було підсумовуванням обсягів усіх "атомів", з яких складалося тіло. Ця теорія може показатися безглуздою, якщо не згадати, що деякі математики епохи до Ньютона, особливо Вієт і Кеплер, по суті, користалися такими ж поняттями і вважали окружність складеної з дуже великого числа малюсіньких відрізків. Немає ніяких даних про те, що в стародавності на такій основі був розвитий строгий метод, але наші сучасні поняття межі дали можливість перетворити цю "атомну" теорію в теорію настільки ж строгу, як і метод вичерпування. Навіть у наші дні ми звичайно користуємося таким поняттям "атома" при постановці математичних задач у теорії пружності, чи фізику в хімії, залишаючи строгу теорію з переходами до межі професійним математикам.

Перевага "атомного" методу перед методом вичерпування в тім, що перший полегшує перебування нових результатів. Отже, в античності був вибір між строгим, але відносно марним методом і методом з хибким обґрунтуванням, але більш плідним. Повчально, що майже всі класичні автори застосовують перший метод. Це знов-таки може бути зв'язане з тим, що математика стала коником дозвільного класу, що спирався на рабство, байдужого до винаходів, зі споглядальними інтересами. Можливо і те, що в цьому позначилася перемога в області філософії математики ідеалізму Платона над матеріалізмом Демокріта.

У 334 р. до н.е.. Олександр Македонський почав завоювання Персії. У 323 р., коли він помер у Вавилоні, всей Близьких Схід був у руках греків. Полководці Олександра розділили між собою його завоювання, і згодом виникли три імперії: Єгипет, під владою Птолемеїв; Месопотамія і Сирія, під владою Селевкидів; Македонія, під владою Антигону і його спадкоємців. Навіть у долині Інду були грецькі князі. Почалася епоха еллінізму.

Прямим наслідком походів Олександра було те, що прискорилося проникнення грецької цивілізації у великі райони східного світу. Еллінізувались Єгипет, Месопотамія, частина Індії. Греки заспішили на Близький Схід - торговці, купці, лікарі, мандрівники, найманці, шукачі пригод. У містах - багато хто з них були недавно засновані, що було легко розпізнати по їхніх елліністичних назвах, - військова справа й адміністрація були в руках греків, населення було змішаним, греко-східним. Але еллінізм був істотно міською цивілізацією. Село зберегло своє корінне населення і свій традиційний життєвий уклад. У містах же стара культура Сходу стикалася з імпортованою цивілізацією греків і частково змішалася з нею, хоча завжди залишалося в силі глибоке розходження цих двох світів. Монархи епохи еллінізму користувалися східним звичаям, вирішували східні проблеми керування, але заохочували грецьке мистецтво, грецьку літературу і грецьку науку.

Так і грецька математика була пересаджена в нове середовище. Вона зберегла багато своїх колишніх особливостей, але зазнала впливу від тих адміністративних і астрономічних запитів, що висував Схід. Таке тісне зіткнення грецької науки зі Сходом виявилося винятково плідним, особливо в перші сторіччя. Фактично вся дійсно творча робота, що ми називаємо "грецькою математикою", була пророблена за порівняно короткий термін від 350, до 200 р. до н.е. , від Евдокса до Аполлонія, і навіть досягнення Евдокса відомі нам тільки в тім тлумаченні, у якому ми їх знаходимо в Евкліда й Архімеда. Чудово також, що найбільшого розквіту ця елліністична математика досягла в Єгипті Птолемеєв, а не в Месопотамії, хоча у Вавілоні корінна математика була на більш високому рівні.

Можливо, що це було обумовлено центральним положенням Єгипту тієї епохи в средземноморському світі. Його нова столиця, Олександрія, побудована на березі моря, стала розумовим і господарським центром елліністичного світу. Вавілон же животів, як віддалений центр караванних шляхів, та й зовсім сходив зі сцени - його перемінив Ктесифон-Селевкія, нова столиця імперії Селевкідів. Наскільки відомо, жоден з великих грецьких математиків не був коли-небудь, зв'язаний з Вавілоном. В Антіохії і Пергаме, теж містах Селевкідської імперії, але більш близьких до Середземного моря, були важливі школи грецької науки. Однак корінна вавілонська астрономія і математика саме при Селевкідах досягли свого вищого рівня, і ми тільки тепер починаємо краще розуміти, наскільки істотно був їхній вплив на грецьку астрономію. Афіни стали освітнім центром, а Сіракузи дали Архімеда, найбільшого грецького Математика.

У цю епоху з'явилася професійна вчений-людина, що присвячує своє життя розвитку науки й одержує за це винагороду. Деякі з найбільш видатних представників такої групи людей жили в Олександрії, де Птолемеї побудували великий науковий центр, так званий Музей з його знаменитою бібліотекою. Там зберігалася і множилася наукова і літературна спадщина греків і домоглися при цьому значних успіхів. Одним з перших зв'язаних з Олександрією вчених був Евклід, що є одним з найбільш впливових математиків усіх часів.

Про життя Евкліда ми не маємо ніяких достовірних даних. Ймовірно, він жив у часи першого Птолемея (306-283), якому, відповідно до переказу, він заявив, що до геометрії ні "царської дороги". Його найбільш знаменитий і найбільш видатний здобуток - тринадцять книг його "Початки" (Stoіcheіa), але йому приписують кілька інших менших праць. Серед останніх так звані "Дані" (Data), що містять те, що ми назвали б додатками алгебри до геометрії, але все це викладено строго геометричною мовою. Ми не знаємо, яка частина цих праць належить самому Евкліду і якій частині складають компіляції, але в багатьох місцях виявляється разюча проникливість. Це перші, математичні праці, що дійшли до нас від древніх греків цілком. В історії Західного світу "Початки", після Біблії, ймовірно, найбільше число раз видана і найбільше вивчаєма книга. Після винаходу друкарства з'явилося більше тисячі видань, а до того ця книга, переважно в рукописному виді, була основною при вивченні геометрії. Велика частина нашої шкільної геометрії запозичена часто буквально з перших шести книг "Початки", і традиція Евкліда дотепер тяжіє над нашим елементарним навчанням. Для професійного математика ці книги усе ще мають непереборне зачарування, а їхня логічна побудова вплинула на наукове мислення, мабуть, більше, аніж який би то не був інший здобуток. Виклад Евкліда побудований у виді строго логічних висновків теорем із системи визначень, постулатів і аксіом. У перших чотирьох книгах розглядається геометрія на площині. Виходячи з найбільш простих властивостей ліній і кутів, ми приходимо тут до рівності трикутників, рівності площ, теоремі Піфагора, побудові квадрата, рівновеликого заданому прямокутнику, до золотого перетину, кола і до правильних багатокутників. У книзі V викладена Євдоксова теорія непорівнянних у її чисто геометричній формі, у книзі VІ ця теорія застосована до подоби трикутників. Таке введення подоби - на настільки пізньому етапі - складає одне з найбільш істотних розходжень між викладом планометрії в Евкліда і сучасним. Ці геометричні розгляди завершуються в десятій книзі, де багато хто вважає найбільш важкої в Евкліда. У ній дана геометрична класифікація квадратичних ірраціональностей і коренів квадратних з них, тобто тих чисел, що ми представляємо у виді . В останніх трьох книгах викладається геометрія в просторі. Від тілесних кутів, обсягів паралелепіпедів, призм і пірамід ми доходимо тут до кулі і до того, що за задумом повинне, видимо, вінчати всю працю: дослідження п'яти правильних ("Платонових") тіл і доказу, що їх існує тільки п'ять.

Книги VІІ -ІX присвячені теорії чисел, але не техніці обчислень, а таким "піфагорейским" питанням, як подільність цілих чисел, підсумовування геометричних прогресій, і деяким властивостям простих чисел. Отут ми зустрічаємо і "алгоритм Евкліда" для визначення найбільшого загального дільника заданої системи чисел, і "теорему Евкліда", що простих чисел нескінченно багато. Особливий інтерес представляє теорема VІ, у ній мова йде про першу з задач, що дійшли до нас, на максимум і доводиться, що з прямокутників заданого периметра найбільшу площу має квадрат. П'ятий постулат книги І (неясно, у якім відношенні знаходяться в Евкліда "аксіоми" і "постулати") еквівалентний так називаній "аксіомі рівнобіжних", відповідно до якої через крапку поза заданою прямою можна провести одну і тільки одну пряму, їй рівнобіжну. Спроби зробити з цієї аксіоми теорему змусили в дев'ятнадцятому сторіччі цілком оцінити мудрість Евкліда: це твердження було визнано аксіомою й у зв'язку з цим минулого відкриті інші, так називані неевклідової геометрії.

Алгебраїчні висновки в Евкліда приводяться винятково в геометричному виді. Вираження виду вводиться як сторона квадрата з площею А, добуток а*в - це площа прямокутника зі сторонами а і в. Такий спосіб представлення насамперед був викликаний теорією відносин Евдокса, у якій свідомо відкидалися чисельні вираження для відрізків прямої і, таким чином, непорівнянні розглядалися тільки геометрично: "числами" вважалися тільки цілі чи числа раціональні дроби.

Яку мету ставив собі Евклід, коли писав свої "Початки"? Ми можемо з відомою впевненістю думати, що він хотів спільно викласти в одній праці три великих відкриття недавнього минулого: теорію відносин Евдокса, теорію ірраціональних Теєтета і теорію п'яти правильних тіл, що займали видатне місце в космології Платона. То були три типово "грецьких" досягнення.

Найбільшим математиком епохи еллінізму й усього древнього світу був Архімед (287-212), що жив у Сіракузах, де він був радником Гієрона. Він - один з деяких вчених античності, яких ми знаємо не тільки по імені: збереглися деякі зведення про його життя й особистість. Ми знаємо, що він був убитий, коли римляни взяли Сіракузи, при облозі яких технічне мистецтво Архімеда було використано захисниками міста. Подібна схильність до практичних застосувань представляється нам дуже незвичайною, якщо врахувати, з яким презирством до цього відносилися сучасники Архімеда зі школи Платона. Однак пояснення нам дає багато разів цитоване повідомлення Плутарха (у життєписі Марцеяла), а саме: "Хоча ці винаходи заслужили йому репутацію надлюдської проникливості, він не дойшов до того, щоб залишити який-небудь писаний твір з таких питань, а, вважаючи низькою і невартою справою механіку і мистецтво будь-якого роду, якщо воно має на меті користь і вигоду, усі свої честолюбні домагання він засновував на власних поглядах", краса і тонкість яких не заплямовані якою-небудь домішкою звичайних життєвих нестатків".

Найбільш важливий внесок Архімеда в математику відноситься до тієї області, що тепер ми називаємо інтегральним численням: теореми про площі плоских фігур і про обсяги тел. У "Вимірі кола" він знайшов наближене вираження для окружності, користаючись уписаними й описаними правильними багатокутниками. Дійшовши в цьому наближенні до багатокутників з 96 сторонами, він знайшов (у наших позначеннях), що