Реферат: История тригонометрии в формулах и аксиомах

Тригонометрические функции произвольного угла

Пусть в прямоугольной системе координат x0y задан радиус-вектор образующий с положительным направлением оси 0 x угол a. Будем считать, что ось 0 x – начальная сторона, а вектор - конечная сторона угла a. Проекция вектора на координатные оси соответственно обозначим a_x и a_y .

Можно показать, что отношения где а – длина вектора , зависят только от

величины угла a и не зависят от длины вектора . Поэтому эти отношения можно рассматривать как функции произвольного угла a.

Синусом угла a,образованного осью 0 x и произвольным радиусом-вектором , называется отношение проекции этого вектора на ось 0y к его длине:

y

A

x

Рис. 6.

Если не указано сколько оборотов совершил вектор вокруг точки 0, то положение вектора определяет угол с точностью до целого оборота, т.е углу с начальной стороной 0 x и конечной стороной соответствует бесчисленное множество углов, которые выражаются формулой

360°·n+a, где n=0; ±1; ±2; ±3; ±4; …

и sin (a+360°· n)=sin a

Длина радиуса-вектора всегда число положительное. Проекция его на координатные оси величины алгебраические и в зависимости от координатных четвертей имеют следующие знаки:

В I четверти a_x >0; a_y >0;

Во II четверти a_x <0; a_y >0;

В III четверти a_x <0; a_y <0;

В IV четверти a_x >0; a_y <0/

График функции y=sinx

До сих пор аргументами тригонометрических функций рассматривались именованные величины – углы (дуги), измеренные в градусах или радианах. Значения тригонометрических функций, как отношения отрезков, являются абстрактными величинами (числами). При изучении свойств тригонометрических функций приходится сравнивать изменения функции в связи с изменениями аргумента, а сравнивать можно только однородные или, что еще лучше, абстрактные величины.

Кроме того, введение тригонометрических функций от абстрактного аргумента дает возможность применять эти функции в различных вопросах математики, физики, техники и т.д.

Вместо именованного значения аргумента тригонометрических функций в x (радианов) будем рассматривать абстрактное числогде r обозначает радианы, ии по определению принять что

sinx , где x – абстрактное число, равен sinx , где x измерен в радианах.

Тригонометрические функции являются периодическими, то есть существует число а, отличное от 0, такое, что при любом целом nтождественно выполняется равенство:

f(x+na)=f(x), n=0; ± 1; ± 2 ...

Число а называется периодом функции. Период функции sinx равен 2p. Для нее имеет место формула:

sin ( x +2 p n )= sinx , где n=0; ± 1; ± 2 ...

График функции y=sinx называют синусоидой. Для построения графика можно взять значения аргумента x с определенным интервалом и составить таблицу значений y=sinx , соответствующих выбранным значениям x , а затем по точкам, как это часто делается в алгебре, построить график.

Строим в системе координат x₁ 0₁ y₁ единичную окружность R=1 с центром 0₁ на оси абсцисс x₁ . Дугу этой окружности начиная от точки начиная от точки оси абсцисс x₁ =+1, делим на n равных частей:

Затем строим вторую систему координат x0 y , ось которой 0 x совпадает с осью 0 ₁ x₁ , но сначало координат 0 ₁ (x ₁ =0 ) и 0 (x=0 ) у етих систем различные. В новой системе координат отрезок оси абсцисс от x=0 до x=2 p делим на n равных частей: Из точек деления окружности проводим прямые параллельные оси 0 x , а из точек деления отрезка [0, 2 p ] проводим прямые, перпендикулярные этой осм. Точки пересечения соответствующих прямых будут точками графика y=sinx , так как ординаты этихточек равны значениям синуса, соответствующим значениям аргумента в точках деления отрезка [0, 2 p ].

Рис.8.

Некоторые свойства функции y=sinx