Реферат: Кольца. Примеры колец. Гомоморфизмы и изоморфизмы колец. Подкольца. Кольцо целых чисел

Для изучения предлагаются понятия кольца, коммутативного кольца и области целосности, гомоморфизма и изоморфизма колец, подкольца, а так же свойства кольца целых чисел.

п.1. Понятие кольца.

Определение. Алгебра , где - бинарные операции, - унарная операция, называется кольцом, если выполнены аксиомы.

I. - абелева группа.

1)

2)

3)

4)

II. 1) - ассоциативность умножения.

2) законы дистрибутивности: - левый дистрибутивный закон, - правый дистрибутивный закон.

- называется аддитивной группой кольца.

Определение. Кольцо называется кольцом с единицей , если существует

Определение. Кольцо называется коммутативным, если

Определение. Элементы называются делителями , если

Определение. Кольцо называется областью целостности, если оно обладает свойствами:

Кольцо - коммутативно.

Кольцо с единицей , где .

Кольцо не имеет делителей нуля.

п.2. Примеры колец.

Рассмотрим . Операции - бинарная операция на множестве , операция - унарная операция на множестве , , значит - алгебра. Аксиомы кольца на множестве выполнены, это следует из свойств целых чисел, значит - кольцо. Это кольцо с единицей 1, так как и . Это коммутативное кольцо, так как . Это кольцо без делителей нуля. Кольцо целых чисел является областью целостности.

Пусть - множество целых чётных чисел, - алгебра, кольцо без единицы, коммутативное, без делителей нуля, не является областью целостности.

- проверим, будет ли на множестве - кольцо.

- бинарная операция на множестве .

- бинарная операция на множестве .

- унарная операция на множестве .

Значит - алгебра.

Аксиомы кольца для данной алгебры выполнены, так как , а на аксиомы выполнены (из свойств действительных чисел), значит - это кольцо.

. . Кольцо с единицей - это коммутативное кольцо без делителей нуля, является областью целостности.

Пусть . Определим операции , ; , .

--> ЧИТАТЬ ПОЛНОСТЬЮ <--