Реферат: Конечные разности. Погрешности
Учитывая, что , последнее выражение дает возможность после раскрытия скобок выделить из суммы и оценить сначала абсолютную погрешность, а по абсолютной погрешности – относительную:
Условные арифметические операторы с проверкой равенства операндов необходимо заменять проверкой вида: .
2. Конечные разности
2.1 Определение конечных разностей
Конечная разность «вперед» для таблично заданной функции в i -той точке определяется выражением: , где функция
задана, как функция целочисленного аргумента с единичным шагом по аргументу i .
Для аналитически заданной и протабулированной с постоянным шагом h функции определяющее соотношение имеет вид:
.
Преобразование таблицы функции в функцию целочисленного аргумента
осуществляют при помощи линейного соотношения между аргументами x и i :
.
Коэффициенты a и b находят из системы уравнений, получаемой в результате подстановки в пределах заданной таблицы вместо x и i сначала начальных значений аргументов , а затем конечных
. При этом начало таблицы удобно совместить с началом координат функции с целочисленным аргументом
(
). Тогда для таблицы с (n+ 1) – й строками:
,
Повторные конечные разности n -го порядка в i -той точке для табличной функции определяются соотношением
.
2.2 Конечно-разностные операторы
Линейность конечно-разностного оператора позволяет ввести конечно-разностный оператор сдвига
и многочлены от оператора
с целыми коэффициентами, такие, как
, где
должно рассматриваться как оператор повторной разности k -того порядка.
Действие любого многочлена на функцию g (i ) определяется как
.
Применение оператора сдвига к g (i ) преобразует последнее в g (i +1):
g (i +1) = E g (i ) = (1+) g (i )= g (i ) +
g (i ).
Повторное применение оператора сдвига позволяет выразить (i+n ) – е значение ординаты функции g через конечные разности различных порядков:
где – число сочетаний из n элементов по k ;
– многочлен степени k от целой переменной n (
), имеющий k сомножителей. При k=n
.
В силу линейности оператора сдвига можно конечно-разностный оператор выразить, как , и определить повторные конечные разности через многочлены от операторов сдвига так
.
Последнее позволяет формульно выражать n -ную повторную разность через (n +1) ординату табличной функции, начиная с i -той строки: