Реферат: Конечные разности. Погрешности

Учитывая, что , последнее выражение дает возможность после раскрытия скобок выделить из суммы и оценить сначала абсолютную погрешность, а по абсолютной погрешности – относительную:

Условные арифметические операторы с проверкой равенства операндов необходимо заменять проверкой вида: .

2. Конечные разности

2.1 Определение конечных разностей

Конечная разность «вперед» для таблично заданной функции в i -той точке определяется выражением: , где функция задана, как функция целочисленного аргумента с единичным шагом по аргументу i .

Для аналитически заданной и протабулированной с постоянным шагом h функции определяющее соотношение имеет вид:

.

Преобразование таблицы функции в функцию целочисленного аргумента осуществляют при помощи линейного соотношения между аргументами x и i : .

Коэффициенты a и b находят из системы уравнений, получаемой в результате подстановки в пределах заданной таблицы вместо x и i сначала начальных значений аргументов , а затем конечных . При этом начало таблицы удобно совместить с началом координат функции с целочисленным аргументом(). Тогда для таблицы с (n+ 1) – й строками:

,

Повторные конечные разности n -го порядка в i -той точке для табличной функции определяются соотношением

.

2.2 Конечно-разностные операторы

Линейность конечно-разностного оператора позволяет ввести конечно-разностный оператор сдвига и многочлены от оператора с целыми коэффициентами, такие, как , где должно рассматриваться как оператор повторной разности k -того порядка.

Действие любого многочлена на функцию g (i ) определяется как

.

Применение оператора сдвига к g (i ) преобразует последнее в g (i +1):

g (i +1) = E g (i ) = (1+) g (i )= g (i ) + g (i ).

Повторное применение оператора сдвига позволяет выразить (i+n ) – е значение ординаты функции g через конечные разности различных порядков:

где – число сочетаний из n элементов по k ;

– многочлен степени k от целой переменной n (), имеющий k сомножителей. При k=n .

В силу линейности оператора сдвига можно конечно-разностный оператор выразить, как , и определить повторные конечные разности через многочлены от операторов сдвига так .

Последнее позволяет формульно выражать n -ную повторную разность через (n +1) ординату табличной функции, начиная с i -той строки: