Реферат: Квантовые свойства излучения

Подставляя формулу Рэлея – Джинса для , получаем:

, или окончательно

.

Формула Планка переходит в формулу Рэлея – Джинса (1) при hν = ħω << kT, когда энергия излучаемого кванта много меньше энергии теплового движения. Действительно,

Теперь вычислим энергетическую светимость R0:

где введена безразмерная переменная

Интеграл, тогда

где σ – постоянная Стефана – Больцмана: σ = 5,7·10-8 Вт/м2К4.

Таким образом, мы получили закон Стефана – Больцмана для энергетической светимости черного тела, который гласит: энергетическая светимость черного тела пропорциональна четвертой степени его термодинамической температуры.

Стефан получил эту зависимость на основе экспериментов (1879 г), а Больцман, применив методы классической термодинамики, вывел ее теоретически (1884 г). Согласно этому закону энергетическая светимость черного тела является определенной величиной, и не равна бесконечности, как в случае использования формулы Рэлея – Джинса.

Так как энергетическая светимость серых тел RC = aC·R0 для серых тел закон Стефана – Больцмана приобретает вид: RC = aC·σ·Т4, где аС – коэффициент поглощения, не зависящий от λ (или ω), но зависящий от температуры.

Вернемся к экспериментальным графикам спектральных плотностей энергетической светимости черного тела и . Из них следует еще один закон теплового излучения черного тела. Используя формулу Планка для величин и , из условий:

можно определить значения ωm и λm, соответствующие максимумам

и . Действительно, так как,

.

Введем переменную , тогда условие максимума будет иметь вид: .

Это трансцендентное уравнение решается методом последовательных приближений и дает значение х = 4,965, откуда

.

Соотношения λm = b/T иνm/T = ωm/2πT = b1 (b = 2,9·10-3 м·К – постоянная Вина) выражают закон смещения Вина (1893 г):

длина волны, соответствующая максимальной спектральной плотности энергетической светимости черного тела, обратно пропорциональна его термодинамической температуре.

Или: частота, соответствующая максимальной спектральной плотности энергетической светимости черного тела, прямо пропорциональна его термодинамической температуре.

Из закона Вина непосредственно следует, что при понижении температуры тела максимум энергии его излучения смещается в область бо'льших длин волн. Становится понятным, почему при уменьшении температуры светящихся тел белое свечение становится желтым, затем – красным, а после этого вообще становится невидимым. Это происходит из-за того, что в спектре начинает преобладать длинноволновое излучение.

Таким образом, первая квантово-механическая гипотеза Планка о квантованности излучения (поглощения) и последующий вывод формулы для спектральной плотности энергетической светимости черного тела позволили получить теоретическое обоснование экспериментально наблюдавшихся законов излучения черного тела.