Реферат: Линейные диофантовые уравнения

Теорема 1. Если числа а и b — взаимно простые, то уравне­ние ах + by = 0 имеет бесконечно много решений в целых чис­лах, которые находятся во взаимно однозначном соответствии с множест­вом целых чисел Z (то есть могут быть занумерованы целыми числами) и описываются формулой: х_п = bn , y_n = - an , где n Z — «номер» решения.

Эта теорема часто встречается при решении разнообразных за­дач на целые числа, и мы рекомен­дуем абитуриентам запомнить ее формулировку.

В качестве простого примера применения теоремы 1 рассмотрим следующую задачу.

Задача 1 . Найти все целочисленные решения уравне­ния

х² + 5 y ² + 34z² + 2ху - 10 xz - 22у z - 0.

Решение. Рассмотрим уравнение

х² + 5у² + 34z² + 2ху - 10 xz - 22 yz = 0

как квадратное уравнение относительно одной неизвестной х:

х² + 2х(у - 5г) + by ² + 34z² - 22 yz = 0.

Тогда

= ( y -5 z )² -(5 y ² +34 z ² -22 yz )=-(2 y -3 z )² .

Если это уравнение имеет решение, то дискриминант должен быть неотрицательным, что воз­можно только в случае 2у - 3z = 0. Тогда дискриминант равен нулю, и уравнение имеет единствен­ное решение х = 5z- у.

Итак, исходное уравнение равносильно системе

Общее решение первого уравнения в целых числах дается форму­лами у = Зn, z = 2n, где nZ . Из второго уравнения теперь можно найти х (причем х автоматически будет целым числом): х = In .

Таким образом, исходное уравнение имеет бесконечно много целочисленных решений, которые могут быть описаны формулой (х; у; z ) — (7n; Зn; 2n), n Z .

Ответ: (х; у, z ) = (7n; Зn; 2 n), n eZ .

Общие линейные уравнения

В этом разделе мы будем рассматривать диофантовы уравнения вида ах + by = с.

Прежде всего отметим, что, вообще говоря, такое уравнение может и не иметь целочисленных реше­ний.

Действительно, допустим, что уравнение ах + by = с имеет реше­ние. Если коэффициенты а и b имеют общий делитель d > 1, то число ах + by , которое стоит в левой части, можно без остатка разде­лить на d . Поэтому и правую часть уравнения, то есть свободный член с, можно без остатка разделить на d . Иначе говоря, справедлива следующая теорема.

Теорема 2. Если наибольший общий делитель d коэффициентов а и b больше 1, а свободный член с не делится на d , то уравнение ах + by = с не имеет решений в целых числах.

Это простое утверждение часто используется, например, для доказательства иррациональности чисел, записанных с помощью радикалов.

Задача 2 .Дока­зать, что число не является рациональным числом.

Решение. Допустим противное, что — число рациональное.

Тогда существуют натуральные т, п такие, что .

Избавляясь от радикала и дроби, получим:

2 n ³ = т³ (5)

Разложим числа т иn на простые множители (мы явно указы­ваем только простой множитель 2):