Реферат: Линейные диофантовые уравнения

100-31,97+1,40 = 69,43.

Проблему с поиском частного решения можно обойти с помощью следующего способа решения уравнения (8) (этот метод работает длялюбого уравнения вида ах+ by =с и всущности является вариантом алгоритма Евклида).

Выразим неизвестную с меньшим коэффициентом (в нашем случае — это т) через другую неизвестную:

И выделим целую часть из дробей , ,

Введем новую неизвестную т₁ (вместо т) по формуле т₁ = т - З n -1. Для нее последнее равенство примет вид:

97m₁ = 8n + 43.

Это уравнение имеет тот же вид, что и исходное. Применим к нему процедуру, описанную в предыдущем абзаце: выразим неиз­вестную с меньшим коэффициентом (в нашем случае — это n ) через другую неизвестную:

и выделим целую часть из дробей ,

Введем новую переменную n ₁ (вместо n) по формуле n ₁ = n ₁ - 12т₁ + 5. Для нее последнее равенство примет вид:

8 n ₁ = т₁ -3.

Поскольку коэффициент при т₁ равен 1, общее решение этого уравнения в целых числах есть:

.

Возвращаясь к основным неизвестным /гит, мы получим общее решение в целых числах уравнения (8)

При l = k +17 мы получим общее решение уравнения (8), най­денное ранее.

Описанный метод решения линейных диофантовых уравнений был известен уже математикам Древней Индии; они называли его «метод рассеивания».

Ответ: 69 руб. 43 коп.

Задача 7. Длина дороги, соединяющей пункты А и В , равна 2 км. По этой дороге курсируют два автобуса. Достигнув пункта А или пункта В, каждый из автобусов немедленно разворачивается и следует без остановок к другому пункту. Первый автобус движется со скоростью 51 км/ч, а второй — со скоростью 42 км/ч. Сколько раз за 8 часов движения автобусы

а) встретятся в пункте В;

б) окажутся в одном месте строго между пунктами А и В,

если известно» что первый стартует из пункта А, а второй — из пункта В?

Решение. Примем момент старта автобусов в качестве начального

и обозначим через t ' _n , t ’ _n моменты времени, когда первый и второй автобусы в n-й раз окажутся в пункте В.

Поскольку первый автобус стартует из пункта А, к моменту n-говизита в В он пройдет путь s _п = 2 + 4(n -1) = 4 n - 2 (последователь­ность s ^’ _n образует арифметическую прогрессию с разностью 4).

Поэтому t ’ _n = .

Второй автобус к моменту n-визита в пункт В пройдет путь s’_n = 4(n-1) = 4n-4 (последовательность s ’ _n также будет арифметической прогрессией с разностью 4). Поэтому t’_n =.