Реферат: Линейные диофантовые уравнения

T ’ _n = T ’ _m 14 n -17 m =-10

Рассмотрим его как уравнение относительно п и т и решим его.

В качестве частного решения можно взять, например, n ₀ = 9, m₀ = 8:

14 • 9-17 • 8 = -10.

Вычитая это равенство из уравнения 14n — 17m = -10, мы полу­чим однородное уравнение:

14(n-9) = 17(m-8).

Его общее решение в целых числах имеет вид: n - 9 = 17k, т - 8 = 14k, где k Z . Отсюда

n = 9 + 17k, m = 8 + 14k. Поскольку нас интересует решение в натуральных числах, возможные значения целочислен­ного параметра k должны быть неотрицательными: k Z . Пере­менную k можно интерпретировать как номер встречи автобусов в пункте В (имея в виду, что встречи нумеруются не с 1, а с 0). Моментk-й встречи можно подсчитать как t ’ _n при n = 9 + 17k: t_k = .

Число встреч за 8 часов равно числу решений неравенства t_k ≤ 8 на множестве k Z :

Таким образом, за 8 часов автобусы ровно 6 раз встретятся в пункте В.

Перейдем теперь ко второй части задачи («сколько раз за 8 часов автобусы окажутся в одном месте строго между пунктами А и В? »). Прежде всего найдем, сколько раз за 8 часов автобусы встретятся в пункте А — эта информация окажется позже нам полезной.

Как и в предыдущем исследовании, примем момент старта авто­бусов в качестве начального и обозначим через T ’ _n , T " _n — моменты времени, когда первый и второй автобусы в n -й раз окажутся в пункте-А (рис. 1).

Поскольку первый автобус стартует из пункта А, к моменту n - го визита в А он пройдет путь S ’ _n = 4(n-1) (последовательность S ' _n образует арифметическую прогрессию с разностью 4).

Поэтому

T’_n =.

Второй автобус к моменту n -го визита в А пройдет путьS”_n = 2 + 4( n -1) = 4 n - 2 (последовательность S”_n также будет арифметической прогрессией с разностью 4). Поэтому T ” _n = .

Встреча автобусов в пункте А означает, что для некоторых нату­ральных n и т верно равенство

T ’ _n = T ” _n 28 n -34 m =11

Левая часть этого уравнения — четное число, а правая — нет. Поэтому оно не имеет решений в целых числах. Следовательно, автобусы никогда не встретятся в пункте А.

Теперь перейдем непосредственно к решению второй части за­дачи. Для этого введем систему координат на дороге между А и В, выбрав в качестве начала отсчета пункт А, в качестве положитель­ного направления — направление от А к В (рис. 2).

Пусть x ₁ ( t ), x ₂ ( t ) — координаты первого и второго автобусов соот­ветственно в момент t . Графики функций x ₁ ( t ) и x ₂ ( t ) — это ломаные линии, изображенные на рисунках 1 и 2 соответственно. Первая ломаная состоит из 102 пар звеньев с угловыми коэффициентами 51 и -51, а вторая — из 84 пар звеньев с угловыми коэффициентами 42 и -42 (на рисунках мы исказили масштаб). Точки А и В на оси ординат имеют координаты 0 и 2 соответственно и соответствуют прохождению через пункты А и В.

Встреча автобусов в какой-то момент t означает совпадение их координат в этот момент: x ₁ ( t ) = x ₂ ( t ), то есть пересечение графиков функций x ₁ ( t ) и x ₂ ( t ).

Каждое звено первой ломаной пересекает вторую ломаную ровно в одной точке. Поэтому всего будет 102 точки пересечения возрас­тающих звеньев первой ломаной со второй ломаной и 102 точки пе­ресечения убывающих звеньев первой ломаной со второй ломаной. Поскольку автобусы не встречаются в пункте А, ни одна из этих точек не будет лежать на оси абсцисс. С другой стороны, поскольку авто­бусы встречаются 6 раз в пункте В, ровно 6 точек пересечения будет лежать на горизонтальной прямой у = 2. Эти точки будут включены как в 102 точки пересечения возрастающих звеньев первой ломаной со второй ломаной, так и в 102 точки пересечения убывающих звеньев первой ломаной со второй ломаной. Поэтому число точек пересече­ния, лежащих внутри полосы 0 < у < 2, равно

2•(102-6)=192

Ответ: а) 6 раз; б) 192 раза.