Реферат: Линейные преобразования случайных сигналов
Определим корреляционную функцию сигнала на выходе RC -цепи при воздействии на ее вход белого шума.
Так как выходная спектральная плотность мощности уже определена, то можно вычислить искомую функцию обратным преобразованием Фурье. Но в рассматриваемом случае проще анализ выполнить во временной области, то есть B y (
) = B x ()B h (), но так как B x () = W0 d(), то B y () = W 0 B h () (учитывая фильтрующее свойство дельта-функции).
Таким образом, при воздействии на вход цепи белого шума, корреляционная функция выходного сигнала совпадает с точностью до постоянного множителя с корреляционной функцией импульсной характеристики рассматриваемой цепи. Так как
h (t ) = 1/(RC ) exp[-t /(RC )], t ³ 0, то
B h () = 
h(t)h (t -)dt = 1/(2RC )exp[-||/(RC )], -¥ < < ¥.
На рис. 5 представлены корреляционные функции (рис. 5а) и спектральные плотности мощности (рис. 5б) для двух значений постоянной времени заданной цепи (RC )1 < (RC )2 . Дисперсия выходного СП 
y 2 = B y (0) = = G 0 /(2RC ).
Площадь под кривой B y () равна значению спектральной плотности мощности при 
= 0, есть G 0 . Из сравнения графиков на рис. 5 следует, что с уменьшением полосы пропускания цепи начальное (максимальное) значение корреляционной функции B y (0) уменьшается, что связано с уменьшением мощности выходного сигнала, и корреляционная функция изменяется медленнее с увеличением RC заданной цепи.
Нетрудно рассчитать интервал корреляции выходного СП
= 
.
Откуда следует, что интервал корреляции выходного СП равен постоянной времени цепи.
Рис. 5
ПРИМЕР 2 анализа прохождения белого шума через колебательный контур (рис. 6). Чтобы придать этой задаче физический смысл, сводим задачу, как и предыдущую, к аппроксимации входного сигнала белым шумом.
Рис. 6
Чтобы использовать такой прием, входной сигнал должен иметь спектральную плотность мощности, неизменную в пределах практически значимых значений ординат АЧХ цепи. Тогда Gx () можно считать равной G 0 , а входной СП – белым шумом (рис. 7).
Передаточная функция такой цепи K (j )=K р /[1+j 2(-р )/(р Q э )]; 0 < < ¥, где K р - коэффициент передачи цепи при резонансной частоте р , то есть K р = R эр /(R эр + R ); Q э = Q /(1 + R эр /R ) - добротность шунтированного нагрузкой R колебательного контура, его постоянная времени к = 2Q э /р = 2/(D)0,7 , то есть обратная половине полосы пропускания контура на уровне 0,707. Квадрат модуля передаточной функции K 2 () =K р 2 /[1 + (-р )2 к 2 ]. Найдем дисперсию процесса на выходе цепи
y 2 = G 0 K р 2 /(pк ) (p/2 + arctg2Q э ) »G 0 K р 2 /(2к ) при Q э >> 1.
Рис. 7
Оценим энергетическую полосу пропускания колебательного контура (рис. 6) Dэ = (G 0 K р 2 )- 1 
Gy ()d »p/к . Сравним с полосой пропускания по уровню 0,707 (-3 дБ). Так как к = 2Q э /р , то Dэ = p/2 (D)0,7 .
Вычислим корреляционную функцию выходного процесса (рис. 8):
By () = G 0 K р 2 /(2к ) exp(-||/к ) cosр ; -¥ < < ¥.
Рис. 8
Если рассматривать анализ контуров с разными добротностями, то можно увидеть различия в реализациях выходных процессов: рис. 9 при добротности Q 1 и рис. 10 при добротности Q 2 .
Рис. 9
