Реферат: Линейные преобразования случайных сигналов

Если для многих электрических цепей в установившемся режиме просто рассчитать энергетический спектр и корреляционную функцию, то задача расчета плотности вероятности в произвольном случае не имеет общего решения. Расчет плотности вероятности на выходе такой цепи является сложной задачей, не имеющей аналитического решения. Трудности анализа обусловлены тем, что мгновенные значения сигнала на выходе линейной цепи зависят не только от мгновенных значений входного сигнала в данный момент времени, но и от значений сигнала в предыдущие моменты (поскольку цепь обладает инерционностью, вызванной наличием катушек индуктивности и конденсаторов в цепи). Однако имеет место единственный случай, когда законы плотности вероятности на входе и выходе цепи совпадают. Это случай, когда входной сигнал имеет нормальный закон распределения. Основным свойством нормального закона является то, что при прохождении сигнала с нормальной плотностью вероятности сам вид закона не изменяется, а меняются лишь его параметры, то есть математическое ожидание, дисперсия, корреляционная функция. Здесь можно выявить аналогию с гармоническим колебанием в линейной цепи.

Прохождение нормального стационарного СП через линейную электрическую цепь. Задан входной СП X(t ), у которого плотность вероятности в каждый момент времени f (x ) = (_x ² )^{- 1} exp [-x ² /(2_x ² )], -¥<x <¥, математическое ожидание считаем равным нулю. Поэтому средний квадрат такого СП равен дисперсии. Корреляционная функция B _x () и, следовательно, G_x () известны. Вычислить плотность вероятности сигнала на выходе цепи, заданной или импульсной характеристикой h (t ), или передаточной функцией K (j ). Учитывая, что при прохождении случайного сигнала через линейную цепь нормальный закон распределения не изменяется, можно записать: f (y ) = (_y ² )^{- 1} exp [-y ² /(2_y ² )], т.е. сама форма закона известна. Необходимо определить дисперсию _y ² , а она связана с мощностью процесса: B _y (0) = s_y ² = (2p)^{- 1} G_y ()d . Чтобы найти либо B _y (), либо G_y (), требуется знать B _x () или G_x ().

В частотной области

G_y () = G_x ()K ² (), тогда

_y ² = (2p)^{- 1} G_x () K ² ()d .

Во временной области B _y () = B _x ()×B _h (). Полагая = 0 и учитывая, что B _h (-) = B _h (), можно записать

s_y ² = B _x () B _h ()d .

2. Нормализация случайных сигналов в узкополосных электрических цепях

Допустим есть устройство, имеющее структурную схему, показанную на рис. 12.

Рис. 12

Если СП с нормальным законом подвергнуть какому-либо нелинейному преобразованию (например, двухстороннему ограничению), то его закон распределения изменится (рис. 13).

Рис. 13

На выходе узкополосной цепи опять получим сигнал с нормальным распределением, и этот закон тем ближе будет к нормальному, чем ýже полоса пропускания используемой линейной цепи.

3. Исследование на LabVIEW линейных преобразований случайных процессов и явления нормализации

Исследование влияния полосы фильтра на вид и параметры реализации случайного процесса

Количество реализаций: 200.

Тип фильтра: НЧ Баттерворта.

Порядок фильтра НЧ: 50.

Выполнение:

а) Частота среза фильтра НЧ: 3 МГц

Полученные данные показаны на рис. 1

Рис. 14

Погрешность оценки спектральной плотности мощности составляет: мВ² /МГц (оценка методом экспресс-анализа).

Дисперсия процесса может быть определена по площади под кривой спектральной плотности мощности, которая приблизительно равна 3 мВ² .

Среднеквадратическое отклонение оценки составит мВ; значение практически соответствует полученным данным (1,7359 мВ).

б) Частота среза фильтра НЧ: 2 МГц.

Полученные данные показаны на рис. 15.

Погрешность оценки спектральной плотности мощности процесса на выходе фильтра составляет: мВ² /МГц.