Реферат: Линейные системы дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами

где F(t) — непрерывная периодическая матрица с периодом ω, g (t) — непрерывная периодическая вектор-функция с периодом ω. Нас будут интересовать периодические решения этой системы уравнений с периодом ω.

Теорема 2.Пусть однородная система уравнений (1) (соответствующая неоднородной системе (8)) не имеет нетривиальных периодических решений с периодом ω (то есть все ее мультипликаторы отличны от единицы). Тогда система уравнений (8) имеет единственное периодическое решение с периодом ω.

Доказательство. Любое решение системы уравнений (8) может быть представлено в виде

(9)

где Z(t) — фундаментальная матрица системы уравнений (1). Выберем фундаментальную матрицу Z(t) так, чтобы было

Z(0) = E.

В этом случае формула (9) примет вид (при t₀ = 0 )

(10)

Потребуем, чтобы решение z (t) имело период ω:

z (t + ω) = z (t). (11)

В частности, при t = 0

z ( ω) = z (0). (12 )

Оказывается, что если для некоторого решения z (t) выполнено условие (12), то оно имеет период ω. В самом деле, z (t + ω) и z (t) — два решения системы уравнений (8), удовлетворяющие в силу (12) одному и тому же начальному условию при t = 0 . В силу теоремы единственности эти решения тождественно совпадают, то есть имеет место соотношение (11). Таким образом, условие того, что решение z (t) имеет период ω, можно записать в виде (12). В силу формулы (10) соотношение (12) примет вид

(13)

По условию теоремы, все мультипликаторы системы (1) отличны от единицы. Поэтому ç Z( w ) - E ç ¹ 0 (характеристическое уравнение ç Z( w ) - ρE ç = 0 не имеет корня ρ = 1 ) и система уравнений (13) однозначно разрешима отностильно z₀ . Теорема доказана.

Замечание. В случае, когда однородная система уравнений (1) имеет нетривиальное периодическое решение с периодом ω, линейная неоднородная система уравнений (8) может или вообще не иметь периодических решений с периодом ω (если система уравнений (13) несовместна), или иметь несколько линейно независимых периодических решений с периодом ω (если система уравнений (13) имеет бесконечное множество решений).

Примечания:

1. d _j ¹ = {1;0; …;0}, …, d _j ⁿ = {0;0; …;1}.

2. Любое решение x(t) однородной системы уравнений есть линейная комбинация решений фундаментальной системы решений x₁ (t), …,x_n (t).

3. Все выводы получаются следующим образом:

из Ż = F(t)Z и Z(t) = Ф(t)e^At следует то, что, подставляя второе выражение в первое, получим

Примеры:

Теперь рассмотрим несколько примеров на применение рассмотренных в докладе теорем и следствий к ним:

Пример 1 : Показать, что линейное уравнение второго порядка

где f ( t ) — непрерывная периодическая функция с периодом ω, имеет единственное периодическое решение с периодом ω, если

Решение.

Сведем дифференциальное уравнение к системе и применемтеорему 2:

1. Имеем

2. Для применения теоремы 2 нам необходимо составить матрицу монодромии однородной системы и все собственные значения этой матрицы должны быть отличны от единицы; для начала найдем фундаментальную матрицу для однородной системы,соответствующей неоднородной системе (*):