Реферат: Линии на плоскости

Уравнение пучка прямых с центром в точке А(x₁ , y₁ ) имеет вид:

y-y₁ = λ(x-x₁ ),

где λ - параметр пучка.

Если пучок задается двумя пересекающимися прямыми A₁ x + B₁ y + C₁ = 0,
A₂ x + B₂ y + C₂ = 0, то его уравнение имеет вид:

λ(A₁ x + B₁ y + C₁ ) + μ(A₂ x + B₁₂ y + C₂ )=0,

где λ и μ - параметры пучка, не обращающиеся в 0 одновременно.

Величина угла между прямыми y = kx + b и y = k₁ x + b₁ задается формулой:

tgφ = .

Равенство 1 + k₁ k = 0 есть необходимое и достаточное условие перпендикулярности прямых.

Для того, чтобы два уравнения

A₁ x + B₁ y + C₁ = 0, (2.7)

A₂ x + B₂ y + C₂ = 0, (2.8)

задавали одну и ту же прямую, необходимо и достаточно, чтобы их коэффициенты были пропорциональны:

A₁ /A₂ = B₁ /B₂ = C₁ /C₂ .

Уравнения (2.7), (2.8) задают две различные параллельные прямые, если A₁ /A₂ = B₁ /B₂ и B₁ /B₂ ≠ C₁ /C₂ ; прямые пересекаются, если A₁ /A₂ ≠ B₁ /B₂ .

Расстояние d от точки M₀ (x₀ , y₀ ) до прямой есть длина перпендикуляра, проведенного из точки Mо к прямой. Если прямая задана нормальным уравнением, то d = |r₀ n⁰ - р| , где r₀ - радиус-вектор точки M₀ или, в координатной форме, d = |x₀ cosα + y₀ sinα - р|.

Общее уравнение кривой второго порядка имеет вид:

a₁₁ x² + 2a₁₂ xy + a₂₂ y² + 2a₁ x +2a₂ y +a = 0.

Предполагается, что среди коэффициентов a₁₁ , a₁₂ , a₂₂ есть отличные от нуля.

Уравнение окружности с центром в точке С(a, b) и радиусом, равным R:

(x - a)² + (y - b)² = R² . (2.9)

Эллипсом называется геометрическое место точек, сумма расстояний которых от двух данных точек F₁ и F₂ (фокусов) есть величина постоянная, равная 2a.

Каноническое (простейшее) уравнение эллипса:

x² /a² + y² /a² = 1. (2.10)

Эллипс, заданный уравнением (2.10), симметричен относительно осей координат. Параметры a и b называются полуосями эллипса.

Пусть a > b, тогда фокусы F₁ и F₂ находятся на оси Оx на расстоянии c =
от начала координат. Отношение c/a = ε < 1 называется эксцентриситетом эллипса. Расстояния от точки M(x, y) эллипса до его фокусов (фокальные радиусы-векторы) определяются формулами:

r₁ = a - εx, r₂ = a +εx.

Если же a < b, то фокусы находятся на оси Оy, c = , ε = c/b,

r₁ = b + εx, r₂ = b - εx.