Реферат: Линии на плоскости

Гиперболой называется геометрическое место точек, разность расстояний которых от двух данных точек F₁ и F₂ (фокусов) равна по абсолютной величине данному числу 2a.

Каноническое уравнение гиперболы:

x² /a² - y² /b² = 1. (2.11)

Гипербола, заданная уравнением (2.11), симметрична относительно осей координат. Она пересекает ось Оx в точках A (a, 0) и A (-a, 0) - вершинах гиперболы и не пересекает ось Оy. Параметр a называется вещественной полуосью, b - мнимой полуосью. Параметр c = есть расстояние от фокуса до начала координат. Отношение c/a = ε > 1 называется эксцентриситетом гиперболы. Прямые y = ± bx/a называются асимптотами гиперболы. Расстояния от точки M(x,y) гиперболы до ее фокусов (фокальные радиусы-векторы) определяются формулами:

r₁ = |εx - a| , r₂ = |εx + a| .

Гипербола, у которой a = b, называется равносторонней, ее уравнение x² - y² = a² , а уравнение асимптот y = x. Гиперболы x² /a² - y² /b² = 1 и

y² /b² - x² /a² = 1 называются сопряженными.

Параболой называется геометрическое место точек, одинаково удаленных от данной точки (фокуса) и данной прямой (директрисы).

Каноническое уравнение параболы имеет два вида:

1) y² = 2рx - парабола симметрична относительно оси Оx.

2) x² = 2рy - парабола симметрична относительно оси Оy.

В обоих случаях р > 0 и вершина параболы, то есть точка, лежащая на оси симметрии, находится в начале координат.

Парабола y² = 2рx имеет фокус F( р/2,0) и директрису x = - р/2, фокальный радиус-вектор точки M(x,y) на ней r = x+ р/2.

Парабола x² =2рy имеет фокус F(0, р/2) и директрису y = - р/2; фокальный радиус-вектор точки M(x,y) параболы равен r = y + р/2.

Уравнение F(x, y) = 0 задает линию, разбивающую плоскость на две или несколько частей. В одних из этих частей выполняется неравенство F(x, y)<0, а в других - неравенство F(x, y)>0. Иными словами, линия F(x, y)=0 отделяет часть плоскости, где F(x, y)>0, от части плоскости, где F(x, y)<0.

Прямая Ax+By+C = 0 разбивает плоскость на две полуплоскости. На практике для выяснения того, в какой полуплоскости мы имеем Ax+By+C<0, а в какой Ax+By+C>0, применяют метод контрольных точек. Для этого берут контрольную точку (разумеется, не лежащую на прямой Ax+By+C = 0) и проверяют, какой знак имеет в этой точке выражение Ax+By+C. Тот же знак имеет указанное выражение и во всей полуплоскости, где лежит контрольная точка. Во второй полуплоскости Ax+By+C имеет противоположный знак.

Точно так же решаются и нелинейные неравенства с двумя неизвестными.

Например, решим неравенство x² -4x+y² +6y-12 > 0. Его можно переписать в виде
(x-2)² + (y+3)² - 25 > 0.

Уравнение (x-2)² + (y+3)² - 25 = 0 задает окружность с центром в точке C(2,-3) и радиусом 5. Окружность разбивает плоскость на две части - внутреннюю и внешнюю. Чтобы узнать, в какой из них имеет место данное неравенство, возьмем контрольную точку во внутренней области, например, центр C(2,-3) нашей окружности. Подставляя координаты точки C в левую часть неравенства, получаем отрицательное число -25. Значит, и во всех точках, лежащих внутри окружности, выполняется неравенство
x² -4x+y² +6y-12 < 0. Отсюда следует, что данное неравенство имеет место во внешней для окружности области.

Плоскость и прямая в пространстве

Всякое уравнение первой степени относительно координат x, y, z

Ax + By + Cz +D = 0 (3.1)

задает плоскость, и наоборот: всякая плоскость может быть представлена уравнением (3.1), которое называется уравнением плоскости.

Вектор n (A, B, C ), ортогональный плоскости, называется нормальным вектором плоскости. В уравнении (3.1) коэффициенты A, B, C одновременно не равны 0.

Особые случаи уравнения (3.1):

1. D = 0, Ax+By+Cz = 0 - плоскость проходит через начало координат.

2. C = 0, Ax+By+D = 0 - плоскость параллельна оси Oz.

3. C = D = 0, Ax +By = 0 - плоскость проходит через ось Oz.

4. B = C = 0, Ax + D = 0 - плоскость параллельна плоскости Oyz.

Уравнения координатных плоскостей: x = 0, y = 0, z = 0.