Реферат: Линии на плоскости
Уравнение пучка прямых с центром в точке А(x1 , y1 ) имеет вид:
y-y1 = λ(x-x1 ),
где λ - параметр пучка.
Если пучок задается двумя пересекающимися прямыми A1 x + B1 y + C1 = 0,
A2 x + B2 y + C2 = 0, то его уравнение имеет вид:
λ(A1 x + B1 y + C1 ) + μ(A2 x + B12 y + C2 )=0,
где λ и μ - параметры пучка, не обращающиеся в 0 одновременно.
Величина угла между прямыми y = kx + b и y = k1 x + b1 задается формулой:
tgφ = .
Равенство 1 + k1 k = 0 есть необходимое и достаточное условие перпендикулярности прямых.
Для того, чтобы два уравнения
A1 x + B1 y + C1 = 0, (2.7)
A2 x + B2 y + C2 = 0, (2.8)
задавали одну и ту же прямую, необходимо и достаточно, чтобы их коэффициенты были пропорциональны:
A1 /A2 = B1 /B2 = C1 /C2 .
Уравнения (2.7), (2.8) задают две различные параллельные прямые, если A1 /A2 = B1 /B2 и B1 /B2 ≠ C1 /C2 ; прямые пересекаются, если A1 /A2 ≠ B1 /B2 .
Расстояние d от точки M0 (x0 , y0 ) до прямой есть длина перпендикуляра, проведенного из точки Mо к прямой. Если прямая задана нормальным уравнением, то d = |r0 n0 - р| , где r0 - радиус-вектор точки M0 или, в координатной форме, d = |x0 cosα + y0 sinα - р|.
Общее уравнение кривой второго порядка имеет вид:
a11 x2 + 2a12 xy + a22 y2 + 2a1 x +2a2 y +a = 0.
Предполагается, что среди коэффициентов a11 , a12 , a22 есть отличные от нуля.
Уравнение окружности с центром в точке С(a, b) и радиусом, равным R:
(x - a)2 + (y - b)2 = R2 . (2.9)
Эллипсом называется геометрическое место точек, сумма расстояний которых от двух данных точек F1 и F2 (фокусов) есть величина постоянная, равная 2a.
Каноническое (простейшее) уравнение эллипса:
x2 /a2 + y2 /a2 = 1. (2.10)
Эллипс, заданный уравнением (2.10), симметричен относительно осей координат. Параметры a и b называются полуосями эллипса.
Пусть a > b, тогда фокусы F1 и F2 находятся на оси Оx на расстоянии c =
от начала координат. Отношение c/a = ε < 1 называется эксцентриситетом эллипса. Расстояния от точки M(x, y) эллипса до его фокусов (фокальные радиусы-векторы) определяются формулами:
r1 = a - εx, r2 = a +εx.
Если же a < b, то фокусы находятся на оси Оy, c = , ε = c/b,
r1 = b + εx, r2 = b - εx.