Реферат: Математическое программирование 2

7) найти координаты точек max и min по чертежу и вычислить значения функции в этих точках (ответы).

7. Постановка транспортной задачи.

Приведем экономическую формулировку транспортной задачи по критерию стоимости:

Однородный груз, имеющийся в m пунктах отправления (производства) А₁ , А₂ , ..., А_m соответственно в количествах а₁ , а₂ , ..., а_m единиц, требуется доставить в каждый из n пунктов назначения (потребления) В₁ , В₂ , ..., В_n соответственно в количествах b₁ , b₂ , ..., b_n единиц. Стоимость перевозки (тариф) единицы продукта из A_i в B_j известна для всех маршрутов A_i B_j и равна C_ij (i=1,m; j=1,n). Требуется составить такой план перевозок, при котором весь груз из пунктов отправления вывозиться и запросы всех пунктов потребления удовлетворяются (закрытая модель), а суммарные транспортные расходы минимальны.

Условия задачи удобно располагать в таблицу, вписывая в клетки количество перевозимого груза из A_i в B_j груза X_ij > 0, а в маленькие клетки - соответствующие тарифы C_ij :

8. Математическая модель транспортной задачи.

Из предыдущей таблицы легко усматривается и составляется математическая модель транспортной задачи для закрытой модели

Число r = m + n - 1, равное рангу системы (1), называется рангом транспортной задачи. Если число заполненных клеток (X_ij ¹ 0) в таблице равно r, то план называется невырожденным, а если это число меньше r, то план вырожденный - в этом случае в некоторые клетки вписывается столько нулей (условно заполненные клетки), чтобы общее число заполненных клеток было равно r.

Случай открытой модели Σа_i ¹ Σb_j легко сводится к закрытой модели путем введения фиктивного потребителя B_n+1 c потребностью b_n+1 =Σa_i -Σb_j , либо - фиктивного поставщика А_m+1 c запасом a_m+1 =Σb_j -Σa_i ; при этом тарифы фиктивных участников принимаются равными 0.

9. Способы составления 1-таблицы (опорного плана).

I. Способ северо-западного угла (диагональный). Сущность способа заключается в том, что на каждом шаге заполняется левая верхняя клетка (северо-западная) оставшейся части таблицы, причем максимально возможным числом: либо полностью вывозиться груз из А_i , либо полностью удовлетворяется потребность B_j . Процедура продолжается до тех пор, пока на каком-то шаге не исчерпаются запасы a_i и не удовлетворяются потребности b_j . В заключение проверяют, что найденные компоненты плана X_ij удовлетворяют горизонтальным и вертикальным уравнениям и что выполняется условие невырожденности плана.

II. Способ наименьшего тарифа. Сущность способа в том, что на каждом шаге заполняется та клетка оставшейся части таблицы, которая имеет наименьший тариф; в случае наличия нескольких таких равных тарифов заполняется любая из них. В остальном действуют аналогично предыдущему способу.

10. Метод потенциалов решения транспортной задачи.

Определение: потенциалами решения называются числа a_i ®A_i , b_j ®B_j , удовлетворяющие условию a_i +b_j =C_ij (*) для всех заполненных клеток (i,j).

Соотношения (*) определяют систему из m+n-1 линейных уравнений с m+n неизвестными, имеющую бесчисленное множество решений; для ее определенности одному неизвестному придают любое число (обычно a₁ =0), тогда все остальные неизвестные определяются однозначно.

Критерий оптимальности. Если известны потенциалы решения X₀ транспортной задачи и для всех незаполненных клеток выполняются условия a_i +b_j £ C_{i j} , то X₀ является оптимальным планом транспортной задачи.

Если план не оптимален, то необходимо перейти к следующему плану (таблице) так, чтобы транспортные расходы не увеличились.

Определение: циклом пересчета таблицы называется последовательность клеток, удовлетворяющая условиям:

1) одна клетка пустая, все остальные занятые;

2) любые две соседние клетки находятся в одной строке или в одном столбце;

3) никакие 3 соседние клетки не могут быть в одной строке или в одном столбце .

Пустой клетке присваивают знак « + », остальным - поочередно знаки « - » и « + ».

Для перераспределения плана перевозок с помощью цикла перерасчета сначала находят незаполненную клетку (r, s), в которой a_r +b_s >C_rs , и строят соответствующий цикл; затем в минусовых клетках находят число X=min{X_ij }. Далее составляют новую таблицу по следующему правилу:

1) в плюсовые клетки добавляем X;

2) из минусовых клеток отнимаем Х;

3) все остальные клетки вне цикла остаются без изменения.

Получим новую таблицу, дающее новое решение X, такое, что f(X₁ ) £ f(X₀ ); оно снова проверяется на оптимальность через конечное число шагов обязательно найдем оптимальный план транспортной задачи, ибо он всегда существует.

11. Алгоритм метода потенциалов.