Реферат: Математика бесконечности
Более того, k-числа – продолжение оси действительных чисел:
1 - 2 - 3 - 4 - 5 - 6 - 7 - 8 - 9 - ... - k - 2k - 3k - 4k - 5k - 6k- ...
А что такое ∞·k? Может быть, это – k2 ? В таком случае – опять качественный скачок в направлении возрастания чисел и числовая ось принимает вид:
0 - 1 - 2 - ... - k - 2k - 3k - ... - k2 - 2k2 - 3k2 - ... - k3 - 2k3 - 3k3 - ... - kn -
Эти отрезки числовой оси имеют качественные границы k, k2 , ..., kn . Но они не изолированы друг от друга. Все тот же нуль связывает их. Действительно,
k2 ·0 = k·k·0 = k·1/0·0 = k,
ибо нуль – число, и его можно сокращать как обычные числа. Отсюда правило: при умножении на нуль в области чисел вида kn происходит переход в область чисел вида kn–1 . При делении на нуль, что равносильно умножению на k, происходит переход в область kn+1 .
Листок третий
Разбросанным в пыли по магазинам
(Где их никто не брал и не берет!)
Моим стихам, как драгоценным винам,
Настанет свой черед.
М.И. Цветаева, май 1913 г., Коктебель
Увы!.. Все новое – это хорошо забытое старое. Цитирую из «Оснований алгебры Леонарда Эйлера части первой первыя три отделения, переведенныя с французского языка на Российской, со многими присовокуплениями, Василием Висковатовым, Академии Наук Экстраординарным Академиком». Издано в 1812 г. в Санкт-Петербурге:
Ǥ83
...Поелику дробь 1/∞ показывает частное, происходящее от деления 1 на ∞, и мы знаем также, что когда делимое 1 на частное число 1/∞ или 0, как прежде мы видели, разделится, то выйдет делитель ∞, и из сего получаем мы новое понятие о бесконечности, а именно, что оная происходит от разделения 1 на 0; чего ради по справедливости сказать можно, что 1, разделенная на 0, означает бесконечно великое число, или ∞...»
Итак, о том, что 1/0 есть именно число, а не предел функции, сказано еще в XVIII в. Эйлером! Однако здорово же пропылилась на книжных полках эта «новость»...
(Может быть, именно эта пропыленность и мешает современным математикам воспринимать ее серьезно? Ведь k-числа не только не вошли в школьные учебники, но и среди преподавателей математики мало кто о них знает. – Ю.Л.)
Но хватит эмоций. Продолжу цитату:
Ǥ84
Здесь надлежит еще опровергнуть довольно обыкновенное заблуждение: многие утверждают, что бесконечно великое количество увеличено уже быть не может; но сие мнение не согласуется с вышеупомянутыми твердыми основаниями. Ибо когда 1/0 бесконечно великое число означает, и 2/0 неоспоримо в два раза больше 1/0, то из сего явствует, что бесконечно великое число сделаться может еще вдвое, или даже в несколько раз больше».
И чему это я так бурно радовался? Мои «прозрения» – это только несколько элементарных утверждений из области чисел, больших бесконечности, о которых еще в XVIII в. говорил Эйлер.
(Да, Эйлер говорил вполне внятно. Но слушали его почему-то впол-уха. – Ю.Л.)
Листок четвертый
Если же существуют математические предметы, то необходимо,
чтобы они либо находились в чувственно воспринимаемом...
либо существовали отдельно от чувственно воспринимаемого...
а если они не существуют ни тем, ни другим образом, то они либо
вообще не существуют, либо существуют иным способом.