Реферат: Математика бесконечности

Когда в выражении 1/0 = n + 1 + 1/0 оба количества умножить на нуль, то выйдет

1 = (n + 1)·0 + 1 или 1 = 1, что весьма справедливо; и так то же самое выражение

1/0 = n + 1 + 1/0 вести может и к нелепому и к истинному заключению; а сие само показывает, что выражение сие само есть нелепое».

Весьма обстоятельно, но... неверно! Ошибка Висковатова заключается в том, что из-за отсутствия четкого понятия k-числа и его разрядов он не понял сущности суммы

n + 1 + 1/0.

В данном случае в правой части стоит сумма k + n + 1, где n + 1 = (n + 1)·k⁰ , т.е. сумма k и k⁰ , каковая может быть записана просто как k (по аналогии с 1 + 0 = 1). Умножая же на нуль обе части, мы переводим их в разряд k-чисел низшего порядка. А здесь аналогичное равенство привычно, а потому и очевидно: 1 + 0 = 1.

(Автор вступился за честь Эйлера. Это невеликий подвиг! Вот если кто-то вступится за Висковатова против Эйлера и автора – это будет мужественным поступком. Конечно, если причина тому не простое упрямство. – Ю.Л.)

Вторая. В «Математических рукописях» Карл Маркс пишет: «...так как 1/0 = 1/(1 – 1), а 1/(1 – 1) = 2·1/2·(1 – 1) = 2/(2 – 2), то опять-таки 2/0 = 1/0. С тем же успехом, как с помощью ряда из единиц вроде

1/0 = 1/(1 – 1) = 1 + 1 + 1 + ...

можно представить ∞ посредством бесконечного ряда чисел, растущих в любом заданном отношении. Хотя при этом определенная часть одного бесконечного ряда может быть равна ¹ /₂ , ¹ /₃ и т.д. определенной части другого бесконечного ряда, но ни первая, ни вторая определенная часть не находится в какой-нибудь пропорции ко всему бесконечному ряду, и в этом случае можно сказать только, что ряды по-разному шагают в бесконечность» (Курсив К. Маркса.)

Может быть, кто-то сочтет мое утверждение кощунственным, но я все-таки рискну утверждать: в данном случае Маркс был не прав! Хотя и убедительно продемонстрировал недостаточную доказательность эйлеровского утверждения о том, что 2/0 > 1/0. Доказать же это более строго можно следующим образом:

1/0 = 1/(1 – 1) = 2·1/(2·(1 – 1)) = 2/(2·0) = 1/0.

Ошибка Маркса в том, что 2·0 ≠ 0, так как 2·0 = 2·k^–1 , что совсем не то же самое, что k^–1 .

Любопытно отметить, что Маркс обращался к понятию нуля и в других работах. Например, в работе «О дифференциале» он совершенно четко разделил «нуль-число» и «нуль-предел» как совершенно различные самостоятельные понятия.