Реферат: Математика бесконечности
Итак, числовая ось включает качественно однородные отрезки, разделенные особыми точками. Назовем их точками связи. Удобно рассматривать математику целых k-чисел. Обобщение может быть получено при умножении целых k-чисел на некое неравное целому a. Рассмотрим отрезки между точками связи. Начнем с отрезка от 1 до k. Далее – от k до k2 , еще далее – от k2 до k3 . В этой серии отрезков обобщенной числовой оси точками связи являются числа вида kn , где n – целое положительное. Продвигаясь в том же направлении далее, мы встретимся с точками связи нового вида: при n = k точка связи имеет вид kk . Точки связи в первой серии можно назвать точками связи первого рода (символ k входит в них один раз), во второй – точками связи второго рода (символ k входит в них два раза). Например, kk , k2k , kk^2 , kk+1 и т.д. Но и они не замыкают последовательность! Возникают точки связи третьего рода: kk^k ! А там и четвертого, пятого... Качественное разнообразие числовой оси безгранично. И безгранично велико разнообразие качественно различных бесконечных чисел.
(А почему, собственно, нужно тут удивляться? Бесконечность – это элемент некоего непустого множества, и было бы более удивительно, если бы оно вдруг оказалось единичным. – Ю.Л.)
Листок пятый
Рассказали страшное,
Дали точный адрес.
Б. Пастернак. Звезды летом.
Ну, а теперь можно крикнуть «Эврика!». А если n = –2 ? В этом случае:
k–2 = 1/k2 = 1/(1/0)2 = 02 !
Это число получено от умножения нуля на нуль. Следовательно, оно на разряд меньше нуля – смотри правило умножения на нуль в «Листке втором». В самом нуле – бесконечно много k-чисел, имеющих отрицательную степень. В тишине нуля скрыто нескончаемое движение Вселенных...
Вглядимся попристальнее в нуль. Сначала мы увидим:
- –1 - 0 - +1 - или - –k0 - k–1 - +k0 -
Глубже:
- –0 - 02 - +0 - или - –k–1 - k–2 - +k–1 -
И наконец, поняв идею сложного строения нуля:
- –0n–1 - 0n - +0n–1 - или - –k–(n–1) – k–n - +k–(n–1) -
Таким образом, нуль безгранично глубок, а граница между плюсом и минусом более непроницаема, чем граница между единицей и бесконечностью, поскольку во втором случае между единицей и бесконечностью одна точка связи первого рода – k, а в первом – неисчислимое множество точек связи как угодно большого рода.
Теперь очень важное замечание. Обычно принимают, что 1 + 0 = 1. В этом есть определенный практический смысл. Если к k-числу высшего разряда прибавить число низшего разряда, то оно «не изменится». В самом деле, что значит Вселенная плюс атом? Без большого греха результат такого сложения можно принять равным Вселенной. Но ведь это не так...
Сумма двух k-чисел, одно из которых принадлежит к низшему разряду, выражает структуру k-числа. Эта сумма и равна одному из слагаемых, и в то же время отлична от него! Это несколько похоже на тонкую структуру линий спектра. Число, этот математический атом, не является «первокирпичиком», оно имеет структуру! Оно содержит в себе противоречие – тождественно и нетождественно самому себе – и, следовательно, способно к какой-то форме движения и развития.
Листок шестой
В самом деле, когда же было иначе, когда это порицалось,
когда запрещалось, когда нельзя было того, что можно?
М.Т. Цицерон. «В защиту Марка Целия Руфа»
Оказывается, k-числа не могут пожаловаться на отсутствие внимания к себе. На одну известную мне работу в этой области – уже цитировавшегося Эйлера – есть по крайней мере две критические заметки. Представляю их в хронологической последовательности с сохранением грамматики:
Первая. Это сноска В. Висковатова в разбиравшейся книге «Оснований алгебры...» под номером 31. В тексте Эйлер выводит формулу ряда:
1/(1 – a) = 1 + a + a2 + a3 + ... + an + an+1 /(1 – a)
и пишет: «Положим, во-первых, а = 1; наш ряд сделается:
1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + и так далее бесконечно;
а дробь, которой он должен быть равен, сделается 1/0. Но мы уже заметили выше, что 1/0 есть число бесконечно великое». На что В. Висковатов – переводчик и комментатор – замечает: «Возьмем общее выражение
1/(1 – a) = 1 + a + a2 + a3 + ... + an + an+1 /(1 – a).