Реферат: Математика и физика в средней школе

Выразив проекции векторов через модули и принимая во внимание, что имеем:

из уравнения (2) получим:

учитывая, что , и подставляя в уравнение (1) найденное значение , вычислим угловую скорость:

.

§2.2. Векторная величина в средней школе.

Большое место в школьном курсе физике занимают векторные величины. Понятие векторной величины тесно связано с понятием вектора, но не тождественно ему. Векторная величина характеризует какое-либо свойство тела, явления, процесса, существующие реально; её можно измерить. Понятия «измерение вектора» не существует.

Физика оперирует векторными величинами, которые задаются указанием размера и направления в пространстве. Поэтому направленный отрезок является удобным наглядным изображением векторной величины. Операцию построения направленного отрезка MN, для которого равен , можно назвать откладыванием какой-либо векторной величины от точки М [7].

При определении многих физических величин (а также при записях некоторых законов) подчеркивается и векторный характер, в то время как расчет численных значений этих величин выполняется в скалярной форме. В связи с этим возникает необходимость разъяснения учащимся основных приемов и правил перехода от уравнений, записанных в векторной форме, к уравнениям в скалярной форме.

Первые затруднения возникают при записи уравнения кинематики прямолинейного равнопеременного движения. В этом случае [9] для решения основной задачи механики достаточно оперировать двумя уравнениями: уравнением для мгновенной скорости

и уравнением для координаты

,

где х₀ – координата начальной точки, V_{0 x} и a_x – проекции векторов на ось Х, которая параллельна траектории движения.

Для решения многих задач достаточно знать только численное значение мгновенной скорости, определяемое из соответствующего уравнения в скалярной форме. Для этого нужно уравнения мгновенной скорости записать для её проекции на ось х, т.е.

.

Таким образом, основная задача механики решается с помощью двух независимых уравнений:

.

Если начало координат совпадает с начальной точкой движения уравнения упрощаются и принимают вид:

.

Кроме уравнения координаты вводится также формула для вычисления пути (путь – скалярная величина, равная длине траектории):

.

Четкое представление о величинах, входящих в уравнения мгновенной скорости и координаты, и об их изменениях с течением времени складывается у учащихся при вычерчивании графиков.

На рисунке 2.4 показано изменения проекций векторов , а также координаты х тела, брошенного вертикально вверх.

Рис 2.4 и 2.5

На рисунке 2.5 изображены графики изменения ускорения и скорости тела по модулю, а также график его пути [7].

Уравнения динамики первоначально также даются в векторной форме. И естественно возникает необходимость перехода к записи их в скалярной форме.

Второй закон Ньютона учащиеся выражают следующим образом [14]: , где - равнодействующая всех сил, приложенных к телу. В некоторых учебных пособиях это же уравнение записывается так:

.

Для перехода к скалярной форме записи можно рекомендовать следующий прем. Допустим, что к телу приложены две силы и . Тогда телу сообщается ускорение , направленное в сторону равнодействующей (рис.2.6):

Рис 2.6.

Если спроецировать вектора и на произвольную ось х, то, учитывая пропорциональность отрезков, отсеченных на сторонах угла параллельными прямыми, можно записать:

.

Откуда , где - проекция равнодействующей на ось х.

Из рисунка 2.6 также видно, что проекция равнодействующей равно сумме проекций приложенных сил, то есть

,

следовательно, .

Последнее уравнение выражает очень важное следствие: сумма проекций сил, приложенных к телу, по любой оси равна произведению массы тела на проекцию ускорения по этой же оси.

В практике средней школы встречаются физические задачи, которые сводятся к нахождению решений системы уравнений, из которых одни есть уравнения динамики, а другие – кинематики. Если в задаче рассматривается равноускоренное движение, то её решение не зависит от того, проекции или модули векторов входят в уравнения кинематики. Если же в задаче рассматривается равнозамедленное движение, то необходимо предварительно выразить все уравнения системы через однородные величины, то есть через модули соответствующих векторов. В этом случае формула скорости имеет вид , формула пути будет, а формула выразится так .

Несоблюдение этого правила часто приводит к ошибочным решениям. Рассмотрим это на примере следующей задачи (задача №4 из упр. 17 учебника для 9 класса):

«Конькобежец, масса которого равна 50 кг, после разгона скользит по льду, пройдя до остановки 40 м. Сила трения постоянна и равна 10 Н. Сколько времени продолжается торможение?»

рис 2.7

Выполнив чертеж, обращаем внимание учащихся на то, что к конькобежцу приложены три силы: сила тяжести , сила реакции (направленная нормально поверхности движения конькобежца) и сила сопротивления . Рассмотрим проекции этих сил на вертикальную ось y и запишем соответствующее уравнение динамики:

, так как

поскольку , то .