Реферат: Математика и проблема адекватного описания реальности
Другим камнем преткновения является вопрос о происхождении необратимостей. Здесь укажем лишь на правдоподобность гипотезы, что необратимости являются существенно "макро"-феноменом. На каком-то элементарном (фундаментальном) "микро"-уровне все преобразования, по-видимому, должны быть обратимы, и таковы должны быть и описывающие их элементарные операции. Необратимость же, по-видимому, является характеристикой коллективных процессов, которые вместе с тем в каком-то смысле локальны. На самом высоком "мега"-уровне, по-видимому, снова царствует обратимость, обеспечивающая неизменность ("консервативность") не подверженных преобразованиям (и "эволюции") самых общих "Законов природы".
Впрочем, вся эта проблематика в значительной степени неясна и, вероятно, превышает возможности сколько-нибудь четкого осмысления на современном уровне знаний.
Однако, если верна общая высказанная выше концепция, она сразу приводит к ряду фундаментальных следствий:
а) Само выделение "элементов'" в системе - а, стало быть, и структурирование Мира в нашем сознании - является функцией рассмотрения, т.е. зависит не только от свойств рассматриваемого фрагмента Мира, но и от свойств рассматривающей его "аминокислотной подсистемы", именуемой "человеческим сознанием".
В самом деле. Тот же фрагмент Мира, который для нас при "обычных" условиях представляется состоянием, скажем, из совокупности нескольких "тел", для существ иных размеров и конструкции, да и для нас при рассмотрении с иных расстояний и т.п. может оказаться "одним телом" или даже "невообразимым множеством тел". А между тем, фрагмент - один и тот же (если принять за аксиому, что Мир существует вне нас и независимо от нашего - или чьего-то еще - сознания)! Там, где мы видим (и "ощущаем") дискретную границу тела, другое существо (да и мы при помощи приборов, изменяющих пороги чувствительности наших органов восприятия), возможно, увидело бы (и "ощутило") непрерывный переход от "тела" к "не-телу". То, что для нас является "непроницаемым", для существ (и объектов) иных размеров и конструкции может оказаться "проницаемым", и наоборот. Зрительно мы воспринимаем мир только в узком интервале "видимого" диапазона электромагнитных волн. Другие существа с другими характеристиками (и органами) "зрения" видели бы (и "видят"! - хотя бы пчелы, змеи, дельфины, летучие мыши и т.д.) совсем другой мир, состоящий из совершенно иных "объектов" или "элементов" (т.е. иначе "структурированный") и так далее.
Не только выделение "элементов", но и сами понятия "дискретности" и "непрерывности" имеют, по-видимому, лишь условный, относительный смысл, зависящий не только (а, может быть, и не столько) от свойств Мира, но и от свойств "рассматривающего" Мир "субъекта", а также от условий и задач такого "рассмотрения". Это категории, присущие не Миру, а его описанию.
К такому выводу прямо подводят и проблемы квантовомеханического описания Мира, философский аспект которых интенсивно обсуждается в связи с возобновившейся дискуссией по поводу парадокса Эйнштейна - Подольского - Розена [19-22]. Автор последней из упомянутых работ говорит о необходимости "осознания относительности представления о мире как о множестве каких-то "тел" (или других "элементов" в любых пространствах реального физического опыта)" ([22], с. 50) и приходит к выводу, что "природа в конечном счете неразложима на множества каких-либо элементов и существует как нечто единое целое" (там же).
б) Уже на "эмпирическом" (или "прагматическом") уровне мы сталкиваемся с наличием непосредственно не наблюдаемых, чувственно не воспринимаемых объектов (хотя бы "инфра"- и "ультра"-излучения, радиоактивность, магнитное поле и т.д.) Для нашей аминокислотной системы не все наблюдаемо!
Можно возразить, что то, что ненаблюдаемо для человека, наблюдаемо для приборов (т.е. опять-таки для нас через посредство тех или иных перекодирующих устройств). Но и приборы, как ни грустно, являются лишь частными и ограниченными подсистемами Мира. Какими приборами можно зарегистрировать квантово-механическую функцию состояния *Р? Или релятивистский "интервал"? Если они не являются произвольными конструкциями ума, а обладают каким-то статусом реальности, то следует признать, что эти "реалии" в нашей аминокислотной системе восприятия, равно как и в системе восприятия наших приборов, принципиально ненаблюдаемы.
Итак, в Мире не все наблюдаемо, и удивительным (даже в какой-то степени загадочным) свойством "сознания" является его способность экстраполировать за пределы "наблюдаемого", способность вычленять "ненаблюдаемые" элементы Мира, разумно (непротиворечиво и с предсказательной силой!) оперировать ими и заключать от ненаблюдаемого к наблюдаемому и наоборот, связывая все в единую картину мира.
Так естественным образом возникает уже давно независимо вскрытая квантовой механикой (и математикой - мнимые числа!) проблема существования и описания "ненаблюдаемых".
в) Но, более того. Раз всякое описание состояний и преобразований тех или иных элементов и подсистем зависит не только от того, что описывается, но и от того, кто, когда, где,
из какой точки, под каким углом зрения (физическим и ментальным), в каких условиях и т.д. их описывает, естественным образом возникает общеметодологическая проблема "наблюдателя", "систем отсчета", "относительности". Великая эйнштейновская концепция релятивизма, ведущая через эпистемологически Относительное к онтологически Абсолютному, имеет, насколько можно судить, не только физическое, но именно общеметодологическое, гносеологическое значение.
г) Со всем этим тесно связана проблема языка описания. Мы, подобно вычислительной машине, по существу способны непосредственно воспринимать и описывать Мир лишь на языке нашего "аминокислотного" кода, т.е. на языке подмножеств множества возможных состояний нашей нервной системы. Другим языком мы "не владеем". Конечно, можно пользоваться и промежуточными "языками-ретрансляторами", но в конечном счете все они перекодируются в наш, единственно понятный нам, "аминокислотный язык". Мы как бы накладываем на Мир наш "априорный аминокислотный растр" и сквозь него наблюдаем и описываем Мир. Так приобретает рациональный смысл гениальная догадка Канта об "априорных формах созерцания".
д) Но если все многообразие Мира в целом непосредственно не дано нам в восприятии, а мы "видим" лишь то, что появляется на нашем "перцептивном экране" (стена пещеры у Платона или, в более близких нам образах, что-то вроде экрана радиолокатора), т.е. воспринимаем лишь какую-то проекцию Мира на нашу аминокислотную перцептивную систему, то нетрудно впасть в "птолемеев грех", оперируя вместо планетных орбит с "эпициклами" и "дифферентами" и сообразно с этим "структурируя" Мир. Ведь эпициклы Птолемея тоже были языком описания и по-своему неплохо служили делу познания мира, что долгое время создавало иллюзию их адекватности. Однако их слабая степень изоморфности онтологии Мира обнаруживалась, в частности, в том, что системе Птолемея недоставало общности (единства), простоты и ... красоты.
е) Эвристическая ценность принципов "единства", "симметрии", "простоты" и "красоты" при описании Природы становится все более очевидной. "Чем проще наша картина внешнего мира и чем больше фактов она охватывает, тем сильнее отражает она в наших умах гармонию Вселенной", - полагал А. Эйнштейн ([23], т. 4, с. 493).
О различных аспектах эвристических принципов "простоты" и "красоты" существует уже обширная литература ([24 - 28] и обзор литературы в работе [29]). Не последнюю роль оба эти принципа сыграли, между прочим, при установлении структуры молекулы "наследственного вещества" - ДНК, как о том свидетельствует один из авторов этого выдающегося открытия [30]. Единство, симметрия, простота, красота, как проявления гармонии природы, - на этом сходятся и "физики", и "лирики".
"В одном мгновенье видеть вечность: огромный мир - в зерне песка, в единой горсти - бесконечность и небо - в чашечке цветка" [31]. "Есть тонкие, властительные связи меж контуром и запахом цветка" [32]. "В родстве со всем, что есть, уверясь и знаясь с будущим в быту, нельзя не впасть к концу, как в ересь, в неслыханную простоту" [33]. "Красота есть первый пробный камень для математической идеи; в мире нет места уродливой математике''' [34]. Ощущение внутренней гармонии Природы, проявляющейся в "простоте" и "красоте" описывающих ее "уравнений", даже побудило П. Дирака отважиться на такое парадоксальное утверждение: "Красота уравнений важнее их согласия с экспериментом" (!) ([35], с. 129). "По-видимому, - поясняет он свою мысль, - если глубоко проникнуть в сущность проблемы и работать, руководствуясь критерием красоты уравнений, тогда можно быть уверенным, что находишься на верном пути. Если же нет полного согласия между результатами теории и экспериментом, то не стоит слишком разочаровываться, ибо это расхождение может быть вызвано второстепенными факторами, правильный учет которых будет ясен лишь при дальнейшем развитии теории. Именно так была открыта квантовая механика... " (там же). "Вся простота открытия Шредингера обусловлена именно поисками уравнения, обладающего математической красотой" (там же, с. 139).
Природа в своих фундаментальных основах, по-видимому, не может не быть "простой" и "логичной", "гармоничной" и "симметричной"! Но все это - если описывать ее на языке, изоморфном конструкции Мира! Даже если при этом придется выйти за пределы "непосредственно воспринимаемого" и поступиться кое-какими привычными понятиями и представлениями.
ж) В связи со сказанным возникает сильное подозрение, что многие присутствующие в нашей традиционной математике громоздкие, кособокие, негармоничные, равно как и, наоборот, сильно "вырожденные" или сугубо "компонентизованные" конструкции тоже являются лишь "проекциями", лишь "косноязычными" образованиями, не отражающими полнокровной и в то же время логически и эстетически экономной реальности. Едва ли "Природа" способна, например, иметь дело с такими "структурами", как всякие полиномы Лежандра, Эрмита и Лагерра, как разнообразные "бета"-, "эта"-, "тета"- и "дзета"-функции, как (хотя и обладающие своеобразной симметрией и "красотой") тензоры и спиноры и т.д. Громоздкость и вычурность или, наоборот, патологическую "вырожденность" и принципиальную "компонентизованность" таких структур, видимо, следует отнести на счет несовершенства, неадекватности, некомпактности языка.
Но следы этой неадекватности легко обнаружить и на гораздо более элементарном (а потому и гораздо более фундаментальном) уровне.
3. Язык математики как "аминокислотный код"
Из сказанного выше напрашивается вывод, что более или менее адекватное описание совершающихся в Мире (и возможных в нем) преобразований, означающих изменение состояний выделенных для рассмотрения "элементов", предполагает введение каких-то "структур" (в смысле Бурбаки), описывающих воздействие остального мира на рассматриваемый элемент. На нашем символическом "аминокислотном" языке такие структуры выступают в роли операторов, воздействие которых и заставляет элемент изменить свое состояние. А все, что происходит в Мире, остающемся в каком-то смысле равным самому себе, и сводится, по-видимому, к изменению состояний его элементов!
Следовательно, чтобы эпистемология была изоморфна онтологии в арсенале математики, в ее концептуальном базисе, в числе ее первичных объектов, или "структур", должны присутствовать "состояния" и "преобразования"; первые на символическом математическом языке выступают в качестве операндов, вторые - в качестве "операторов", воздействие которых на операнды превращает их в другие операнды той же природы, но находящиеся в иной "фазе", отражая изменение "состояния" выделенного элемента системы.
Язык математики, а, стало быть, и теоретической физики, должен быть, таким образом (от этого не уйти!), языком операторов.
Между тем, хотя уже в первой трети нашего века физика в лице квантовой механики пробилась к уяснению этой истины, традиционному аппарату нашей математики в его принципиальных основах (не в надстройках!), как ни странно, чуждо понятие оператора!
Укажем здесь, хотя бы только на то, что в аппарате нашей традиционной математики отсутствуют естественные операторы для описания даже таких элементарных преобразований, как поворот вектора в трехмерном пространстве вокруг перпендикулярной к нему оси! Это элементарное преобразование, ибо все, что может происходить с вектором, сводится к его растяжению (сжатию) и повороту - ни изгибаться, ни "закручиваться", ни завязываться узлом вектор "не умеет"! Между тем для описания такого элементарного акта традиционная математика пользуется громоздкими искусственными конструкциями, содержащими (нелинейные и неаддитивные!) тригонометрические функции (с которыми "Природа" едва ли может иметь дело!).
Зато, вместо естественного понятия оператора, в первичном арсенале математических средств присутствует нелепое (как будет показано ниже) понятие "умножения" (в том числе два разных умножения для векторов), обладающее в общем случае скверным, неприятным (а, попросту говоря, противоестественным!) свойством неассоциативности.
Между тем, преобразования и их естественные математические ("аминокислотные") представители - операторы - по самой своей природе, разумеется, должны быть ассоциативны - применение двух последовательных преобразований равнозначно применению преобразованного преобразования или преобразования к уже преобразованному объекту!