Реферат: Математика и проблема адекватного описания реальности
Но главное, пожалуй, в том, что понятия "умножения" и "произведения" сущностей вообще никоим образом не адекватны и не изоморфны структуре Мира! По существу, понятию "произведения" в Мире ничего не соответствует. Это чисто "птолемеевская" конструкция, некая искаженная, извращенная тень тех процессов взаимодействия, которые оно призвано отражать и описывать.
Операция "умножения" имеет какой-то (условный!) смысл по отношению к операторам, где она означает просто последовательное их применение. Но что может, например, означать "яблоко, умноженное на яблоко"? Можно возразить, что яблоко не является "математическим объектом". Хорошо. Тогда, что такое шар, умноженный на шар ("произведение двух шаров"), или круг на круг, или треугольник на треугольник, или кривая на кривую, или угол на угол и т.д. Можно снова возразить, что это, мол, чисто геометрические объекты, а для них понятие умножения не имеет смысла. Но тогда должно быть бессмысленным и умножение "направленного отрезка" на "направленный отрезок" (а их целых два, что уже само по себе подозрительно)!
На подобные недоуменные вопросы математики "классической" школы обычно отвечают, что понятие "произведения" математических объектов является свободной конструкцией ума и в значительной (если не в полной) мере зависит от нашего произвола. Мы вольны определить (дефинировать) "произведение" как то-то и то-то, и выбор наш диктуется лишь тем, насколько получаемые "структуры" будут непротиворечивы, удобны для нас, полезны, осмысленны, продуктивны и т.д. Вообще же говоря, такой выбор произволен.
Этим на первый взгляд снимается возникшее затруднение. Однако взамен возникает гораздо более серьезная трудность: почему же такие "свободные порождения ума" оказываются вообще применимыми к внешнему миру, к "физической реальности", которая ведь вовсе не обязана сообразовываться с нашими умственными изобретениями?
Этот вопрос чрезвычайно волновал, среди прочих, и Эйнштейна. Еще в 1920 г. он писал: "В связи с этим возникает вопрос, который волновал исследователей всех времен. Почему возможно такое превосходное соответствие математики с реальными предметами, если сама она является произведением только человеческой мысли, не связанной ни с каким опытом? Может ли человеческий разум без всякого опыта, путем только одного размышления понять свойства реальных, вещей?" ([23], т. 2, с. 83).
И действительно, на деле обнаруживается, что якобы "свободный" выбор наш существенно ограничен: в одних случаях понятие "произведения" загадочным образом оказывается плодотворным и осмысленным, а в других - совершенно бесплодным и лишенным смысла.
Почему же в одних случаях "умножение" имеет смысл, а в других, даже ценой больших усилий, ему такого смысла придать не удается? Чем различаются между собой эти "случаи"?
Проанализировав этот вопрос применительно к другим объектам, помимо векторов, мы неизбежно придем к выводу, что операция "умножения" и понятие "произведения" имеют смысл лишь по отношению к таким объектам ("структурам"), которые могут быть интерпретированы как операторы.
Очевидными примерами являются действительные и комплексные числа, матрицы, тензоры (при правильной записи) и т.п. структуры. Что же касается векторов в их традиционном представлении, то они этому условию не удовлетворяют. И действительно, оба придуманные для них "умножения" оказываются совершенно бессмысленными при сопоставлении с "реальностью". В самом деле, если математическому "вектору" в "физическом" мире соответствует, скажем, некая сила (мы со школьных лет знаем, что "сила есть вектор"), то какие процессы в мире соответствуют "скалярному" умножению двух одинаково направленных сил, при котором обе они "растворяются", превращаясь в "число"? И какие процессы соответствуют умножению двух взаимно перпендикулярных сил, при котором они вообще "аннигилируют"? А какие процессы в мире заставляют испариться две коллинеарные силы в соответствии с их векторным "умножением"?
Таким образом, оказывается, что, хотя математические векторы имеют "референтов" в физическом мире, математические операции их "умножения", конструкты скалярного и векторного "произведений", не имеют "референтов" в мире.
Конечно, можно возразить, что само понятие "вектора" определяется совокупностью его свойств, включая упомянутые "произведения". Но тогда получается, что сам "вектор" не имеет "референта" в Мире, и обнаруживается полный разрыв между математикой и физикой!
Таким образом, понятие "умножения" приобретает смысл лишь тогда, когда мы имеем дело с операциями, которые могут быть истолкованы как воздействие неких операторов. А такие операции должны во что бы то ни стало быть ассоциативными!
В нашем "Мире" за все приходится платить! За сохранение ассоциативности нам придется уплатить появлением - в ограниченной области - делителей нуля, - недостаток, которого, вообще говоря, алгебраисты стараются всеми силами избежать (любимые их детища - "алгебры без делителей нуля", пусть и не ассоциативные!).
Однако именно этот "недостаток" на деле оборачивается величайшим преимуществом, давая ключ к раскрытию наиболее захватывающих тайн теории относительности и квантовой механики (а, надо полагать, и квантовой теории поля)!
Сформулируем еще раз вкратце основные наши "опорные гипотезы":
1. Мир мыслится как некая система, наделенная структурой и, стало быть, подчиняющаяся налагаемым этой структурой ограничениям. В Мире не все возможно, но все, что возможно, где-нибудь и когда-нибудь происходит.
2. Все, что происходит (и может происходить!) в Мире сводится к изменениям состояния его выделенных для рассмотрения элементов, фрагментов или подсистем - к преобразованиям, совместимым с наложенными ограничениями.
3. По отношению к возможным и реализуемым преобразованиям Мир обладает свойством замкнутости и полноты: в "естественном" мире нет места для "сверхъестественных" явлений.
4. В соответствии со сказанным, адекватное описание Мира предполагает введение "структур", отражающих состояния и их преобразования, что на символическом математическом языке выражается как воздействие операторов на операнды. По отношению к таким операциям Мир должен быть алгебраически замкнутым.
5. В силу естественной ассоциативности преобразований, тем же свойством ассоциативности безусловно должны обладать и используемые в математике "истинные" операторы. Лишь при этом условии "структура описания" оказывается изоморфной "структуре Мира".
6. Операция "умножения" и понятие "произведения", строго говоря, не имеют смысла, так как им в Мире ничего не соответствует. Но формально ими можно пользоваться, если они могут быть интерпретированы как воздействие операторов, а для этого они неизбежно должны обладать свойством ассоциативности.
7. Таким образом, для построения системы "истинной" математики открываются в принципе два равноправных пути: выявление элементарных операторов и требование ассоциативности всех используемых операций "умножения" (оба пути приводят к одним и тем же результатам).
8. От структур, получающихся при адекватном описании реальности, можно ожидать высокой степени простоты и симметрии, удовлетворяющих нашему эстетическому чувству, что дает мощный эвристический критерий для суждения об их истинности.
В XX веке в математике воцарилось почти безраздельное господство мощного и плодотворного аксиоматического метода, в немалой степени обязанного своей победой подкупающему стилю мышления и блестящим результатам Давида Гильберта. Успехи аксиоматического метода в упорядочении математического знания и обеспечении логической неуязвимости результатов несомненны. Однако благодаря этому мы часто подпадаем под власть завораживающей магии "положительного знания" и, пораженные своеобразной "куриной слепотой", перестаем видеть очевидные противоречия и несуразности, присущие (при всей ее внутренней непротиворечивости!) самой системе аксиом при ее сопоставлении с реальностью. Это, конечно, тесным образом связано с принципиальным убеждением о независимости математики от реального мира в духе цитированного выше утверждения Георга Кантора.
Автору претит такой волюнтаристский подход. В отличие от широко распространенного мнен?