Реферат: Математика и современный мир
Теперь попытаемся объяснить, что надо понимать в общем случае под математической структурой. Общей чертой различных понятий, объединенных этим родовым названием, является то, что они применимы к множеству элементов, природа которых не определена.
Чтобы определить структуру, задают одно или несколько отношений, в которых находятся его элементы (в случае групп - это отношение хτу = z между тремя произвольными элементами), затем постулируют, что данное отношение или данные отношения удовлетворяют некоторым условиям (которые перечисляют и которые являются аксиомами рассматриваемой структуры). Построить аксиоматическую теорию данной структуры - это значит вывести логические следствия из аксиом структуры, отказавшись от каких-либо других предположений относительно рассматриваемых элементов (в частности от всяких гипотез относительно их "природы").
Основные типы структур .
Отношения, являющиеся исходной точкой в определении структуры, могут быть по своей природе весьма разнообразными. То отношение, которое фигурирует в групповых структурах, называют "законом композиции": это такое отношение между тремя элементами, которое определяет однозначно третий элемент как функцию двух первых - такая структура называется алгебраической структурой (например, структура поля определяется двумя законами композиции с надлежащим образом выбранными аксиомами: сложение и умножение действительных чисел определяют структуру поля на множестве этих чисел).
Другой важный тип представляют собой структуры, определенные отношением порядка - это отношение между двумя элементами х, у, которое чаще всего мы выражаем словами "х меньше или равно у " и которое мы будем обозначать в общем случае х Rу. Здесь больше не предполагается, что это отношение однозначно определяет один из элементов х, у как функцию другого. Аксиомы, которым оно подчиняется, таковы: а) для всех х хRх; b) из соотношений хRу, уRх следует х = у, с) из соотношений хRу, уRz следует хRz.
Очевидным примером множества, снабженного такой структурой, является множество целых чисел (или множество действительных чисел), причем здесь знак R заменяется на ≤. Но надо заметить, что мы не включили в число аксиом аксиому, отражающую следующее свойство, которое кажется неотделимым от того понятия порядка, каким мы пользуемся в обыденной жизни: "каковы бы ни были х, у, имеет место или хRу или уRх ". Другими словами, не исключается случай, когда два элемента могут оказаться несравнимыми.
На первый взгляд это может показаться странным, но легко привести очень важные примеры структур порядка, для которых имеет место именно это обстоятельство. Именно с таким положением вещей мы сталкиваемся, когда X, Y означают подмножества некоторого множества, а Х RY означает "X содержится в Y ", или когда х, у являются натуральными числами, а хRу означает "х делит y ", или, наконец, когда f (х) и g ( x) являются действительными функциями, определенными на интервале a ≤ x ≤ b, а f (х) Rg (х) означает: "каково бы ни было х , f (х) ≤ g (х)". Эти примеры в то же время показывают, сколь велико разнообразие областей, где появляются структуры порядка.
Третий тип структур - топологических структурах (топологии) [2] , в них находят абстрактную математическую формулировку интуитивные понятия окрестности, предела и непрерывности, к которым нас приводит наше представление о пространстве.
В каждой из представленных (порождающих) структур господствует уже достаточное разнообразие, так как там надо различать наиболее общую структуру рассматриваемого типа с наименьшим числом аксиом и структуры, которые получаются из нее в результате ее обогащения дополнительными аксиомами, каждая из которых влечет за собой и новые следствия.
Именно таким образом теория групп, помимо общих положений, которые справедливы для всех групп и зависят только от аксиом, перечисленных выше, содержит, в частности, теорию конечных групп (в которой добавляют аксиому, гласящую, что число элементов группы конечно), теорию абелевых групп (в которых имеем хτу = уτх , каковы бы ни были х, у ), а также теорию конечных абелевых групп (в которой предполагаются выполненными обе вышеуказанные аксиомы). Точно так же среди упорядоченных множеств различают те, в которых любые два элемента сравнимы и которые называются линейно упорядоченными. Среди этих последних особо изучают множества, называемые вполне упорядоченными (в которых, так же как в множестве натуральных чисел, каждое подмножество имеет "наименьший элемент"). Подобная же градация существует и для топологических структур.
За пределами этого первоначального ядра появляются структуры, которые можно было бы назвать сложными структурами и в которые входят одновременно одна или несколько порождающих структур, но не просто совмещенные друг с другом, а органически скомбинированные при помощи одной или нескольких связывающих их аксиом. Именно такой характер носит топологическая алгебра, изучающая структуры, определяемые одним или несколькими законами композиций и одной топологией, которые связаны тем условием, что алгебраические операции являются непрерывными функциями (для рассматриваемой топологии) элементов, над которыми они производятся.
Наконец, далее начинаются собственно частные теории, в которых элементы рассматриваемых множеств, которые до сего момента в общих структурах были совершенно неопределенными, получают более определенную индивидуальность. Именно таким образом получают теории классической математики: анализ функций действительной и комплексной переменной, дифференциальную геометрию, алгебраическую геометрию, теорию чисел. Но они теряют свою былую автономность и являются теперь перекрестками, на которых сталкиваются и взаимодействуют многочисленные математические структуры, имеющие более общий характер.
Структуры являются орудиями математика: каждый раз, когда он замечает, что между изучаемыми им элементами имеют место отношения, удовлетворяющие аксиомам структуры определенного типа, он сразу может воспользоваться всем арсеналом общих теорем, относящихся к структурам этого типа, тогда как раньше он должен был бы мучительно трудиться, выковывая сам средства, необходимые для того, чтобы штурмовать рассматриваемую проблему, причем их мощность зависела бы от его личного таланта и они были бы отягчены часто излишне стеснительными предположениями, обусловленными особенностями изучаемой проблемы.
5. Функции и графики
Функция представляет собой одно из основных математических понятий 20 века, когда функциональному анализу стала принадлежать в математике выдающаяся роль. Но так было не всегда: после введения в математику понятия функции понадобилось более двух столетий, чтобы было осознано его действительное значение для развития математического познания.
Термин "функция" впервые был применен в конце 17 века Лейбницем и его учениками. Вначале этот термин употребляли еще в очень узком смысле слова, связывая лишь с геометрическими образами. Речь шла об отрезках касательных к кривым, их проекция на оси координат и о "другого рода линиях, выполняющих для данной фигуры некоторую функцию" (от латинского "функтус" - выполнять). Таким образом, понятие функции еще не было освобождено от геометрической формы.
Лишь И. Бернулли дал определение функции, свободное от геометрического языка: "Функцией переменной величины называется количество, образованное каким угодно способом из этой переменной величины и постоянных".
Чтобы определение функции, данное И. Бернулли, стало полноценным, надо было условиться, какие способы задания функций следует считать допустимыми. Обычно считали, что допускаются функции, заданные выражениями, в которые входят числа, буквы, знаки арифметических действий, возведение в степень и извлечение корней, а также обозначения тригонометрических, обратных тригонометрических, показательных и логарифмических функций. Такие функции называли элементарными. Вскоре выяснилось, что интегралы от них не всегда выражаются через элементарные функции. В связи с этим пришлось добавить новые функции, получающиеся при вычислении интегралов от элементарных функций, при решении дифференциальных уравнений и т.д. Многие из этих функций нельзя было явно выразить с помощью ранее известных операций. Поэтому один из самых замечательных математиков 18 века Леонард Эйлер пишет: "Когда некоторые количества зависят от других таким образом, что при изменении последних и сами они подвергаются изменению, то первые называют функциями вторых".
В 1834 году Н.И. Лобачевский писал: "Общее понятие функции требует, чтобы функцией от х называть число, которое дается для каждого х и вместе с х постепенно изменяется. Значение функции может быть дано или аналитическим выражением, или условием, которое подает средство испытывать все числа и выбрать одно из них; или, наконец, зависимость может существовать и оставаться неизвестной".
Более общий подход к понятию функции, при котором отождествляются понятия "функция", "отображение", "оператор", возник после того, как во второй половине 19 века было введено общее понятие множества. И именно творцы теории множеств Г. Кантор и Р. Дедекинд дали общее определение отображения:
"Пусть X и Y - два множества; говорят, что задано отображение f множества X в (на) множество Y, если для каждого элемента x из X указан соответствующий ему единственный элемент y из Y. Этот элемент y называют образом элемента х при отображении f и обозначают f ( x)".
Введение в математику общего понятия об отображении множеств позволило прояснить и ряд вопросов, относящихся к функциям, например, уточнить, что такое обратная функция, сложная функция и т.д.
В результате систематического построения математического анализа на основе строгой арифметической теории иррациональных чисел и теории множества возникла новая отрасль математики - теория функций действительного переменного. Она оказала большое влияние на развитие мног?