Реферат: Математика. Интегралы

4 R(sinx, cosx) – нечетная функция относительно sinx и cosx, то tgx=t.

II. 1

2 Оба показателя степени m и n – четные положительные числа: sinxcosx=1/2 sin2x; sin² x=1/2(1-cos2x); cos² x=1/2(1+cos2x).

III. òtg^m xdx и òctg^m xdx, где m-целое положительное число. tg² x=sec² x-1 или ctg² x=cosec² x –1.

IV. òtg^m xsecⁿ xdx и òctg^m xcosecⁿ xdx, где n – четное положительное число. sec² x=1+tg² x или cosec² x=1+ctg² x.

V. òsinmx*cosnxdx, òcosmx*cosnxdx, òsinmx*sinnxdx; sinacosb=1/2(sin(a+b)+sin(a-b)); cosacosb=1/2(cos(a+b)+cos(a-b)); sinasinb=1/2(cos(a-b)-cos(a+b));

9.

Интегрирование иррациональных функций:

I. 1 òR(x, , ,…)dx, k-общий знаменатель дробей m/n, r/s…. x=t^k , dx=kt^k–1 dt

2 òR(x,, …)dx, , x=, dx=

II. 1 Вынести 1/Öa или 1/Ö-a. И выделим полные квадраты.

2

3 Разбить на два интеграла.

4

III. 1

2

3

1)p-целое число x=t^S , где s- наименьшее общее кратное знаменателей у дробей m и n. 2) (m+1)/n –целое число: a+bxⁿ =t^S ; 3) p+(m+1)/n-целое число: a^{- n} +b=t^S и где s- знаменатель дроби p.

10.

Определенный интеграл:

1) интервал [a,b], в котором задана функция f(x), разбивается на n частичных интервалов при помощи точек a=x₀ <x₁ <…<x_{n –1} <x_n =b;

2) Значение функции f(x_I ) в какой нибудь точке x_i Î[x_i –x_{i –1} ] умножается на длину этого интервала x_i –x_{i –1} , т.е. составляется произведение f(x_i )(x_i –x_{i –1} );

3) , где x_i –x_{i –1} =Dx_i ;

I=– этот предел (если он существует) называется определенным интегралом, или интегралом от функции f(x) на интервале [a,b], обозначается

*1. Определенным интегралом называется предел интегральной суммы при стремлении к нулю длинны наибольшего частичного интеграла (в предположении, что предел существует).

Т1. (Необходимое условие существования интеграла): Если ОИ существует, т.е. функция f(x) интегрируема не [a,b], то f(x) ограничена на этом отрезке. Но этого не достаточно. Док-во: Функция Дирихле: