Реферат: Матричная форма формулы Крамера

Следовательно, .

Дополнение 1. При выводе на лекции в ауд. 220 формулы для обратной матрицы через алгебраические дополнения использовалось основное свойство присоединенной матрицы

.

Доказательство этого свойства, в свою очередь, опиралось на два свойства определителя:

(1) Сумма произведений элементов произвольной строки квадратной матрицы на соответствующие алгебраические дополнения этой же строки равна определителю этой матрицы (и аналогично для столбцов) :
(разложение по i -й строке),
(разложение по j -му столбцу)

(2) Сумма произведений элементов произвольной строки квадратной матрицы на соответствующие алгебраические дополнения другой строки равна нулю (и аналогично для столбцов) :
, (для строк, при ),
(для столбцов, при )

Свойство (1) нам известно из общих свойств определителя, которые у нас идут без доказательства. Среди этих свойств есть, в частности, такое:
если в определителе две строки или два столбца совпадают, то он равен нулю .

Теперь докажем свойство (2). Заменим в определителе
j - строку на строку с номером i . Понятно что после этого у полученного определителя две одинаковые строки, и потому он равен нулю. Заметим также, что алгебраические дополнения изменённой j -й строки не изменились, т.к. они не зависят от элементов этой строки. Разложим определитель по j -й строке, получим:

Аналогично доказывается для столбцов.

Дополнение 2. Относительно линейной зависимости векторов теории линейного пространства, просьба не путать:

Общий критерий линейной зависимости векторов произвольного линейного пространства: Совокупность векторов линейно зависима тогда и только тогда, когда один из векторов выражается в виде линейной комбинации остальных.

Основное свойство линейной зависимости : Пусть даны n векторов линейного пространства , и еще какие-то т векторов этого же пространства, каждый из которых линейно выражается через , причем, . Тогда векторы линейно зависимы .

Доказательство этого свойства есть в лекциях, присланных на вашу Почту.