Реферат: Механічні й електромагнітні коливання
З рівняння (5) одержуємо диференціальне рівняння гармонічних коливань (де враховано, що х = A cos (ωο t + φ)),
. (6)
Рис. 1
Таким чином, розв’язком диференціального рівняння (6) є вираз (1).
Гармонічні коливання можна зобразити графічно за допомогою методу обертання вектора амплітуди, або методу векторних діаграм. Для цього з довільної точки О, взятої на осі х, під кутом φ, який дорівнює початковій фазі коливання, відкладається вектор 
, модуль якого дорівнює амплітуді А гармонічного коливання (рис. 2).
Рис. 2
Якщо цей вектор привести до обертання з кутовою швидкістю 
то проекція кінця вектора буде переміщуватися по осі x і набувати значень від -А до + А, а коливна величина буде змінюватися з часом за законом х = A cos(ωο t + φ). У фізиці часто застосовується інший метод, який відрізняється від методу обертання вектора амплітуди лише за формою. У цьому методі коливну величину подають комплексним числом. Відповідно до формули Ейлера, для комплексних чисел
(7)
де 
- уявна одиниця. Тому рівняння гармонічного коливання (1) можна записати також в експонентній формі так:
(8)
Права частина рівняння (8) є рівнянням гармонічних коливань.
2. Механічні гармонічні коливання
Нехай матеріальна точка виконує прямолінійні гармонічні коливання уздовж осі координат x біля положення рівноваги, прийнятого за початок координат. Тоді залежність координати x від часу t задається рівнянням (1),
(9)
Відповідно до виразів (4) і (5) швидкість 
і прискорення а коливної точки будуть дорівнювати:
(10)
Сила F = ma , що діє на коливну матеріальну точку масою т, у відповідності з рівнянням (1) дорівнює
Отже сила, яка діє на матеріальну точку при гармонічних коливаннях, пропорційна зміщенню матеріальної точки від положення рівноваги і спрямована в протилежну сторону.
Кінетична енергія матеріальної точки, яка здійснює прямолінійні гармонійні коливання, дорівнює
(11)
або
К =
(12)
Потенціальна енергія матеріальної точки, яка здійснює гармонічні коливання під дією пружної сили F, дорівнює
П = -
(13)