Реферат: Механика жидкостей и газов в законах и уравнениях

1. МЕХАНИКА ЖИДКОСТЕЙ

Совокупность векторов v ( t ), заданных для всех точек пространства, называется полем вектора скорости. Это поле можно наглядно изобразить с помощью линий тока (рис. 39.1). Линию тока

Рис. 39.1. Линии тока проводятся так, чтобы вектор v в каждой точке пространства был направлен по касательной к соответствующей линии

Рис.39.2. За время Δ t через поверхность S пройдут все частицы жидкости, заключённые в объёме между S и S’

можно провести через любую точку пространства. Если построить все мыслимые линии тока, они просто сольются друг с другом. Поэтому для наглядного представления течения жидкости строят лишь часть линий, выбирая их так, чтобы густота линий тока была численно равна модулю скорости в данном месте. Тогда по картине линий тока можно судить не только о направлении, но и о модуле вектора v в разных точках пространства. Например, в точке А на рис.39.1 густота линий, а следовательно и модуль v , чем в точке В. Поскольку разные частицы жидкости могут проходить через данную точку про­странства с разными скоростями (т. е. v = v ( t )), кар­тина линий тока, вообще говоря, все время изме­няется. Если скорость в каждой точке пространства остается постоянной ( V = const ), то течение жидко­сти Называется стационарным (установившим­ся). При стационарном течении любая частица жидкости проходит через данную точку пространства с од­ной и той же скоростью v . Картина линий тока при стационарном течении остается неизменной, и линии тока в этом случае совпадают с траекториями частиц. Если через все точки небольшого замкнутого контуpa провести линии тока, образуется поверхность, которую называют трубкой тока. Вектор v касателен к поверхности трубки тока в каждой ее точке. Следовательно, частицы жидкости при своем движе­нии не пересекают стенок трубки тока.

Возьмем трубку тока, достаточно тонкую для того, чтобы во всех точках ее поперечного сечения S скорость частиц v была одна и та же (рис. 39.2). При стационарном течении трубка тока подобна стен­кам жесткой трубы. Поэтому через сечение 5 прой­дет за время Δt объем жидкости, равный SvΔt , а в единицу времени объем

(39.1)

Жидкость, плотность которой всюду одинакова и изменяться не может, называется несжимаемой. На рис. 39.3 изображены два сечения очень тонкой трубки тока — S1 и S2. Если жидкость несжи­маема , то кол – во ее между этими сечениями остается неизменным. От­сюда следует, что

Рис 39.4. При движении в сужающейся трубке скорость частиц возрастает – частицы движутся ускоренно.
	Рис39.3. Для несжимаемой жидкости при стационарном течении S1 v1 = S2 v2

объемы жидкости, протекающие в единицу времени через сечения S1 и S2, должны быть одинаковыми:

(39.2)

(напомним, что через боковую поверхность трубки тока частицы жидкости не проникают).

Равенство (39.2) справедливо для любой пары произвольно взятых сечений. Следовательно, для не­сжимаемой жидкости при стационарном течении про­изведение Sv в любом сечении данной трубки тока имеет одинаковое значение:

(39.3)

Это утверждение носит название теоремы о неразрывности струи.

Мы получили формулу (39.3) для несжимаемой жидкости. Однако она применима к реальным жидко­стям и даже к газам в том случае, когда их сжимае­мостью можно пренебречь. Расчеты показывают, что при движении газов со скоростями, много меньшими скорости звука в этой среде, их можно с достаточной точностью считать несжимаемыми.

Из соотношения (39.3) вытекает, что при изме­няющемся сечении трубки тока частицы несжимаемой жидкости движутся с ускорением (рис. 39.4). Если трубка тока горизонтальна, это ускорение может быть обусловлено только непостоянством давления вдоль трубки — в местах, где скорость больше, давление должно быть меньше, и наоборот. Аналитическую связь между скоростью течения и давлением мы уста­новим в следующем параграфе.

2. Уравнение Бернулли

В реальных жидкостях при перемещении слоев жидкости друг относительно друга возникают силы внутреннего трения, тормозящие относительное сме­щение слоев. Воображаемая жидкость, у которой внутреннее трение полностью отсутствует, называется идеальной. Течение идеальной жидкости не со­провождается диссипацией энергии (см. предпослед­ний абзац § 24).

Рассмотрим стационарное течение несжимаемой идеальной жидкости. Выделим объем жидкости, огра­ниченный стенками узкой трубки тока и перпендику­лярными к линиям тока сечениями S ₁ и S ₂ (рис. 40.1), За время А/ этот объем сместится вдоль трубки тока, причем граница объема S ₁ получит перемещение Δ l ₂ , а граница S ₂ — перемещение Δ l ₂ . Работа, совершае­мая при этом силами давления, раина приращению полной энергии ( E_k + E_p )_, заключенной в рассматри­ваемом объеме жидкости.

Силы давления на стенки трубки тока перпенди­кулярны в каждой точке к направлению перемещения жидкости, вследствие чего работы не совершают. От­лична от нуля лишь работа сил давления, приложенных к сечениям S1 и S2. Эта работа равна (см. рис. 40.1).

Полная энергия рассматриваемого объема жидко­сти слагается из кинетической энергии и потенциалальной энергии в поле сил земного тяготения. Вслед­ствие стационарности течения полная энергия той части жидкости, кото­рая ограничена сече­ниями 1’ и 2 (внутрен­няя незаштрихованная часть трубки тока на рис. 40.1), за время Δ t не изменяется. Поэто­му приращение полной энергии равно разности значений полной энер­гии заштрихованных объемов ΔV ₂ и Δ V ₁ , масса которых Δm = рΔ V (р — плотность жидкости).

Возьмем сечение S трубки тока и перемещения Δ l настолько малыми, чтобы всем точкам каждого из заштрихованных объёмов можно было приписать одно и то же значение скорости v , давления p , и высоты h. Тогда дли приращения полной энергии получается выражение

Приравняв выражения (40.1) и (40.2), сократив на AV и перенеся члены с одинаковыми индексами в' одну часть равенства, придем к уравнению

--> ЧИТАТЬ ПОЛНОСТЬЮ <--