Реферат: Механика жидкостей и газов в законах и уравнениях

Разделив переменные, получим уравнение

интегрирование которого дает, что

Постоянную интегрирования С нужно выбрать так, чтобы на стенке трубы (т. е. при г = R) скорость об* ращалась в нуль. Это условие выполняется при

Подстановка этого значения в (42.4) приводит к фор­муле

Скорость на оси трубы равна

С учетом этого формулу (42.5) можно написать в виде

Отсюда следует, что при ламинарном течения скорость изменяется с расстоянием от оси трубы но параболическому закону (рис. 42.4а).

С помощью формулы (42.7) можно вычисти, по­ток жидкости Q, т. е. объем жидкости, протекающей через поперечное сечение трубы и единицу времени. Разобьем сечение трубы на кольца ширины dr (рис. 42.5). Через кольцо радиуса r пройдёт в еди­ницу времени объем жидкости dQ , равный произведе­нию площади кольца 2П rdr на скорость v(t) на рас­стоянии от оси трубы:

(мы воспользовались формулой (42.7)). Проинтег­рировав это выражение по г в пределах ОТ пули до R , получим поток Q :

(S —площадь сечения трубы). Поток можно пред­ставить как произведение среднего по сечению значения скорости <и> на площадь 5. Из формулы (42.8) следует, что при ламинарном течении среднее значение скорости равно половине значения скорости на оси трубы.

Подставив в (42.8) выражение (42.6) дли с>о, по­лучим формулу

которая называется ф о р м у л о й П у а з е й л я . Из нее следует, что поток очень сильно зависит от радиуса трубы.

Естественно, что Q пропорционален отношению { P ₁ — Р₂ ) / l т. е. перепаду давле­ния на единице длины трубы, а также обратно пропорционален вязкости жидкости n.

Формула Пуазейля использу­ется для определения вязкости жидкостей и газов. Пропуская жидкость или газ через трубку известного радиуса, измеряют перепад давления и поток Q . Затем на основании полученных данных вычисляют n.

Мы все время подчеркивали, что предполагаем те­чение медленным для того, чтобы оно имело ламинар­ный характер. Напомним, что ламинарное течение яв­ляется стационарным. Это означает, что скорость ча­стиц жидкости, проходящих через данную точку про­странства, все время одна и та же. Если увеличивать скорость течения, то при достижении определенного значения скорости характер течения резко меняется. Течение становится нестационарным — скорость ча­стиц в каждой точке пространства все время беспоря­дочно изменяется. Такое течение называется тур­булентным. При турбулентном течении происхо­дит интенсивное перемешивание жидкости. Если в турбулентный поток ввести окрашенную струйку, то уже на небольшом расстоянии от места ее введения окрашенная жидкость равномерно распределится по всему сечению потока. Это можно наблюдать в упоминавшемся выше опыте, если увеличить поток воды в стеклянной трубке.

Поскольку при турбулентном течении скорость в каждой точке все время меняется, можно говорить только о среднем по времени значении скорости, кото­рая при неизменных условиях течения оказывается постоянной в каждой точке пространства. Профиль средних скоростей для одного из сечений трубы при турбулентном течении показан на рис. 42.56. Сравне­ние с рис. 42.5 а показывает, что вблизи стенки трубы скорость изменяется гораздо сильнее, чем при лами­нарном течении; в остальной части сечения скорость изменяется меньше.

Рейнольдс установил, что характер течения оп­ределяется значением безразмерной величины

где р — плотность жидкости (или газа), v — средняя по сечению трубы скорость потока, n - вязкость жид­кости, l — характерный для поперечного сечения по­тока размер, например сторона квадрата при квад­ратном сечении, радиус или диаметр при круглом се­чении. Величина Re называется числом Рейнольдса.

При малых значениях Re течение носит ламинар­ный характер. Начиная с некоторого значения Re, называемого критическим, течение приобретает турбулентный характер. Если в качестве характер­ного размера трубы взять ее радиус (в этом случае Re = pvr / n ), то критическое значение числа Рейнольдса оказывается равным примерно 1000 (если в качестве / взять диаметр трубы, то критическое зна­чение Re будет равно 2000).