Реферат: Метод Дэвидона-Флетчера-Пауэлла

3. D_j+1 Hp_k , или, что эквивалентно, D_j+1 Hd_k = d_k для 1 £ k £ j, p_k = l_k d_k .

Проведем доказательство по индукции. Для j = 1 утверждения 1 и 2 очевидны. Чтобы доказать утверждение 3, заметим прежде всего, что для любого k справедливы равенства

Hp_k = H(l_k d_k ) = H(y_k+1 - y_k ) = f(y_k+1 ) –f(y_k ) = q_k . (7)

В частности, Hp₁ = q₁ . Таким образом, полагая j = 1 в (1), получаем

,

т.е. утверждение 3 справедливо при j = 1.

Теперь предположим, что утверждения 1, 2 и 3 справедливы для j £ n – 1. Покажем, что они также справедливы и для j + 1. Напомним, что по утверждению 1 теоремы 2 d_i ^T f(y_j+1 ) = 0 для i £ j. По индуктивному предположению d_i = D_j+1 Hd_i , i £ j. Таким образом, для i £ j имеем

0 = d_i ^T f(y_j+1 ) = d_i ^T HD_j+1 f(y_j+1 ) = –d_i ^T Hd_j+1 .

Ввиду предположения индукции это равенство показывает, что утверждение 2 также справедливо для j+1.

Теперь покажем, что утверждение 3 справедливо для j+1.

Полагая k £ j+1, имеем

. (8)

Учитывая (7) и полагая k = j + 1 в (8), получим, что D_j+2 Hp_j+1 = p_j+1 . Теперь пусть k £ j. Так как утверждение 2 справедливо для j + 1, то

p_j+1 ^T Hp_k = l_k l_j+1 d_j+1 ^T Hd_k = 0. (9)

По предположению индукции из (7) и вследствие того, что утверждение 2 справедливо для j + 1, получаем

. (10)

Подставляя (9) и (10) в (8) и учитывая предположение индукции, получаем

.

Таким образом, утверждение 3 справедливо для j+1.

Осталось показать, что утверждение 1 справедливо для j+1. Предположим, что . Умножая это равенство на и учитывая, что утверждение 2 справедливо для j+1, получаем, что . По условию теоремы , а по лемме 1 матрица положительно определена, так что . Так как H положительно определена, то и, следовательно, . Отсюда следует, что , и так как d₁ , …, d_j линейно независимы по предположению индукции, то для i = 1, …, j. Таким образом, d₁ , …, d_{j +1} линейно независимы и утверждение 1 справедливо для j+1. Следовательно, утверждения 1, 2 и 3 выполняются. В частности сопряжённость d₁ , …, d_n следует из утверждений 1 и 2, если положить j = n.

Пусть теперь j = n в утверждении 3. Тогда для k = 1, …, n. Если в качестве D взять матрицу, столбцами которой являются векторы d₁ , …, d_n , то . Так как D имеет обратную, то , что возможно только в том случае, если . Наконец, является оптимальным решением по теореме 2.

Теорема доказана.

Список литературы.

1. Базара М., Шетти К. «Нелинейное программирование. Теория и алгоритмы». М., 1982.

2. Химмельблау Д. «Прикладное нелинейное программирование». М., 1975.