Реферат: Метод математической индукции
После рассмотрения этих нескольких частных случаев напрашивается следующий общий вывод:
1+3+5+…+(2n-1)=n2
т.е. сумма n первых последовательных нечётных чисел равна n2
Разумеется, сделанное наблюдение ещё не может служить доказательством справедливости при-
ведённой формулы.
Полная индукция имеет в математике лишь ограниченное применение. Многие интересные математические утверждения охватывают бесконечное число частных случаев, а провести проверку для бесконечного числа случаев мы не в состоянии. Неполная же индукция часто приводит к ошибочным результатам.
Во многих случаях выход из такого рода затруднений заключается в обращении к особому методу рассуждений, называемому методом математической индукции. Он заключается в следующем.
Пусть нужно доказать справедливость некоторого утверждения для любого натурального числаn(например нужно доказать, что сумма первых n нечётных чисел равна n2 ). Непосредственная проверка этого утверждения для каждого значения nневозможна, поскольку множество натуральных чисел бесконечно. Чтобы доказать это утверждение, проверяют сначала его справедливость для n=1. Затем доказывают, что при любом натуральном значении k из справедливости рассматриваемого утверждения при n=k вытекает его справедливость и при n=k+1.
Тогда утверждение считается доказанным для всех n. В самом деле, утверждение справедливо при n=1. Но тогда оно справедливо и для следующего числа n=1+1=2. Из справедливости утверждения для n=2 вытекает его справедливость для n=2+
+1=3. Отсюда следует справедливость утверждения для n=4 и т.д. Ясно, что, в конце концов, мы дойдём до любого натурального числа n. Значит, утверждение верно для любого n.
Обобщая сказанное, сформулируем следующий общий принцип.
Принцип математической индукции.
Если предложение А( n ), зависящее от натурального числа n , истинно для n =1 и из того, что оно истинно для n = k (где k -любое натуральное число), следует, что оно истинно и для следующего числа n = k +1, то предположение А( n ) истинно для любого натурального числа n .
В ряде случаев бывает нужно доказать справедливость некоторого утверждения не для всех натуральных чисел, а лишь для n> p, где p-фиксированное натуральное число. В этом случае принципматематической индукции формулируется следующим образом.
Если предложение А( n ) истинно при n = p и если А( k ) Þ А( k +1) для любого k > p , то предложение А( n ) истинно для любого n > p .
Доказательство по методу математической индукции проводиться следующим образом. Сначала доказываемое утверждение проверяется для n=1, т.е. устанавливается истинность высказывания А(1). Эту часть доказательства называют базисом индукции. Затем следует часть доказательства, называемая индукционным шагом. В этой части доказывают справедливость утверждения для n=k+1 в предположении справедливости утверждения для n=k (предположение индукции), т.е. доказывают, что А(k)ÞA(k+1).
Применение метода математической индукции в задачах на суммирование
Применение метода математической индукции в задачах на суммирование
Пример:
Доказать, что
1+x2 +x3 +x4 +….+xn = , где x1
Решение.
, следовательно, при n=1 формула верна.
Пусть k- любое натуральное число и пусть формула верна при n=k, т.е.
Докажем тогда
В самом деле ,
.