Реферат: Метод наименьших квадратов в случае интегральной и дискретной нормы Гаусса

(20)

так, чтобы минимизировалась интегральная норма невязки Гаусса :

(21)

иначе говоря, нам нужно минимизировать интеграл

(22)

Для решения этой задачи подставим (20) в (22), тогда функционал (22) превратится в функцию многих переменных, т.е. . Условия же минимума функции многих переменных имеют вид:

, (23)

Эти условия приобретают вид:

(24)

т.е.

(25)

Определитель этой системы представляет собой определитель Грама для функций , в , поэтому система (25) имеет единственное решение . Подставляя эти значения в разложение (20) имеем приближение для . Характер приближения оценивается соответствующей нормой невязки .

Задача аппроксимации функции заданной аналитически часто применяется для вычисления интегралов.

2.3 Числовые примеры на применение метода наименьших квадратов Гаусса для приближения функций заданных таблично или аналитически

а) Рассмотрим пример в случае табличного задания функции :

Пример 1: пусть функция задана таблично:

	0.5	1.0	1.5	2.0	2.5	3.0
	0.31	0.82	1.29	1.85	2.51	3.02

с помощью метода наименьших квадратов аппроксимировать эту функцию в классе линейных функций. Т.е. допускаем, что . Для нахождения коэффициентов , составляем невязку по дискретной норме Гаусса:

(26)

Необходимые условия минимума для имеют вид:

(27)

Из (27) – получаем нормальные уравнения Гаусса:

(28)

Решение имеет вид:

(29)

т.е.

(30)

б) Теперь, рассмотрим пример в случае приближения сложных аналитически заданных функций, боллее простыми функциями.

Пример 2: Функцию , заданную на интервале аппроксимировать линейной функцией , определив параметры и по методу Гаусса (используем интегральную норму невязки Гаусса).

Решение: интегральная норма невязки для данной функции имеет вид: