Реферат: Метод последовательных уступок Теория принятия решений

Однако даже если взять число М¹ ₂ , удовлетворяю­щее (4) как равенству, и положить À = D₁ /M¹ ₂ , то все равно нельзя гарантировать, что K₂ (u*)=Q₂ ,так что рассматриваемый способ действительно является приближенным.

Пример 4. Пусть U — четверть единичного круга, ле­жащая в положительном квадранте: U={u: uÎR₂ , u² ₁ +u² ₂ £1, u₁ ³0, u₂ ³0} K₁ (u)=u₁ , K₂ (u)=u₂ . Здесь Q₁ = l и М¹ ₂ =1, если исходить из (4) как равенства. Примем D₁ =0,2; À=0,2.

Функция u₁ + 0,2u₂ достигает максимума на Uв единственной точке так что , однако

Пример 5. U={u: uÎR_{2 ,} 0£u₂ £1, (1+d)u₂ £1-u₁ } где d — положительное число, K₁ (u)=u₁ , K₂ (u)=u₂ . Исполь­зуя (4) как равенство, находим: М¹ ₂ = 1. Положим D₁ =1; À=1. Функция u₁ +u₂ достигает на Uмаксимума в един­ственной точке (1, 0). Возьмем теперь ; À=1 + e. где e— любое сколь угодно малое положительное число. Тогда при d<e функция u₁ +(1+e)u₂ будет достигать максимума на U вточ­ке (-d, 1), так

что Q₁ -K₁ (-d,1) = 1+d >D₁ =1.

Примечание. Для решения многокритериальных задач иногда применяют метод выделения основного частного кри­терия. Этот метод состоит в том, что исходная многокритери­альная задача сводится к задаче оптимизации по одному частному критерию К_L ,который объявляется основным, или главным, при условии, что значения остальных частных кри­териев К_r должны быть не меньше некоторых установленных величин («требуемых» значений) b_r ,т. е. к задаче

найти (5)

причем оптимальной считается обычно всякая стратегия, яв­ляющаяся решением задачи (5).

Выделение критерия K_t в качестве основного и назна­чение пороговых величин b_r , для остальных частных критериев фактически означает, что все стратегии разбиваются на два класса. К одному относятся стратегии, которые удовлетворяют всем S—1 ограничениям K_r (u)³b_r ;такие стратегии можно назвать допустимыми. К другому классу относятся такие стратегии, которые не удовлетворяют хотя бы одному из указаных S—1 неравенств. Наконец, среди допустимых стратегий предпочтительнее считается та, для которой значение Критерия K_l больше.

Необходимо отметить, что установившееся название — «ос­новной», или «главный» критерий — по существу весьма условно. Действительно, критерий K_l максимизируется на множестве лишь допустимых стратегий; иначе говоря, если для стратегии u значение некоторого «второстепенного» частного критерия K_r оказывается хоть немного меньше, чем b_r , то она уже не может «претендовать» на роль оптимальной, сколь бы большим ни было для нее значение основного критерия. Сравнение (5) и (1) показывает, что метод после­довательных уступок формально можно рассматривать как особую разновидность метода выделения основного частного критерия, отличающуюся наличием специфической процедуры назначения величин ограничений для задачи максимизации K_S (это обстоятельство фактически уже использовалось при доказательстве теоремы 1).

Поэтому все полученные выше результаты, связанные с вопросами выделения эффективных стратегий методом последовательных уступок, переносятся и на рассматриваемый метод. В частности, этот метод выделяет лишь эффективные стратегии, когда решение задачи (5) единственно с точностью до эквивалентности; если же справедливость указанного условия единственности не установлена, то целесообразно в (5) заменить K_l на

, где À>0 – достаточно малое число.

Выбор конкретной эффективной стратегии из множества U⁰ формаль­но эквивалентен назначению надлежащих величин b_r , причем в качестве основного можно выбрать любой частный крите­рий.

Это означает, с одной стороны, что рассматриваемый метод универсален в том смысле, что он позволяет для каждой ммногокритериальной задачи выделить в качестве наилучшей любую эффективную стратегию.

Это же означает, с другой стороны, что вопросы о выборе одного из частных критериев в качестве основного и назначении минимально допустимых величин b_r для остальных критериев нужно решать совместно, ибо какой бы частный критерий ни был выбран основным, только лишь назначением величин ограничений на остальные критерии можно обеспе­чить получение в качестве оптимальной любой (намеченной) эффективной стратегии.

Таким образом, предварительное выделение одного из ча­стных критериев основным еще никак не уменьшает свободы выбора эффективной стратегии (так что название «основной», или «главный» критерий действительно весьма условно). Сле­довательно, при качественном анализе конкретной многокри­териальной задачи вопрос о выделении одного из частных критериев в качестве основного следует решить так, чтобы облегчить назначение величин ограничений на остальные частные критерии.

Практически назначается серия «наборов» {b_r } пороговых значений и для каждого «набора» отыскивается соответствую­щее наибольшее значение основного критерия (при этом сле­дует учитывать данные выше рекомендации, относящиеся к обеспечению (получения лишь эффективных стратегий, а так­же иметь в виду, что при произвольно назначенных числах b_r может случиться, что задача (5) вообще не имеет смыс­ла, так как ни одна стратегия не удовлетворяет входящим в нее ограничениям).

Далее на основании анализа полученной серии значений всех частных критериев (т. е. серии значений векторного кри­терия) производится окончательное назначение величин огра­ничений, чем определяется и выбор стратегии, которая и бу­дет считаться оптимальной.

Рассмотрение указанной процедуры назначения величин ограничений показывает, что расчет серии значений всех частных критериев фактически имеет целью получение представления о множестве эффективных стратегий (или некоторо­го его подмножества) с помощью ряда отдельных точек, а за­тем эта информация служит для окончательного выбора стра­тегии (производимого на основании интуиции, «здравого смыс­ла» и т. п.).

Следовательно, метод выделения основного частного критерия стоит применять лишь в том случае, когда имеются соображения о примерных значениях величин b_r , (или о до­вольно узких пределах этих значений), позволяющие огра­ничиться рассмотрением сравнительно небольшой части всего множества эффективных стратегий.

Список использованной литературы.

1) Подиновский В.В. , Гаврилов В. М. Оптимизация по последовательно применяемым критериям. М., «Сов. радио», 1975, 192 стр.