Реферат: Метод вспомогательных секущих сфер

Таким образом, если из любой точки О (0₂ ) оси i поверхности вращения описать концентрические сферы, то они пересекут данные поверхности по окружностям. Так, на рис. 4 вспомогательная сфера радиуса R пересекает поверхность вращения по окружности 1 - 2, а данную сферу - по окружности 3 - 4 (эти окружности изображаются на плоскости проекций П₂ отрезками прямых). Точки М и N пересечения указанных окружностей и будут точками искомой линии пересечения. Для построения горизонтальных проекций точек линии пересечения можно воспользоваться окружностями поверхности вращения, которые не искажаются на плоскости проекций II₁ .

Рассмотренные примеры показывают, что способ концентрических сфер можно применять для построения линии пересечения двух поверхностей, у которых имеется общая плоскость симметрии и каждая из которых содержат семейство окружностей, по которым ее могут пересекать концентрические сферы, общие для обеих поверхностей.

В частности, способ концентрических сфер следует применять при построении линии пересечения двух поверхностей вращения, оси которых пересекаются.

Способ эксцентрических сфер.

Указанный способ построения линии пересечения двух поверхностей состоит в применении вспомогательных сфер, имеющих различные центры.

Для выяснения условий, при которых можно применять этот способ, рассмотрим пример, показанный на рис. 5. Как было выяснено, в этом примере центры вспомогательных сфер можно брать в любой точке оси поверхности вращения. Поэтому построение линии пересечения в этом случае можно выполнить не только способом концентрических сфер, но и способом эксцентрических сфер.

На рис. 5 показано построение точек линии пересечения данных поверхностей способом эксцентрических сфер. Здесь проведены четыре сферы радиусов R¹ , R² , R³ и R⁴ из различных 4 центров 0¹ , O² , 0³ и 0 ⁴ , расположенных на всей поверхности вращения. Каждая из этих сфер пересекается с данными поверхностями о окружностям, точки пересечения которых и будут точками линии пересечения поверхностей. Рассмотрим еще один пример.

Пример. Построить линию пересечения поверхности тора с конической поверхностью ращения, имеющих общую фронтальную плоскость симметрии (рис. 6).

Отмечаем точки видимости А и В в пересечении контура поверхности тора с контуром конической поверхности. Для построения случайных точек здесь нельзя воспользоваться способом концентрических сфер, так как, хотя обе поверхности и являются поверхностями вращения, но их оси i ¹ и i ² не пересекаются. Способом же эксцентрических сфер, центры которых находятся в различных точках оси i ² конической поверхности, можно найти сколько угодно случайных точек линии пересечения.

Действительно, у поверхности тора, кроме семейства окружностей (параллелей), расположенных в плоскостях, перпендикулярных оси i ¹ , имеется семейство окружностей (меридианов), расположенных в плоскостях, проходящих через ось i ¹ . Центры сфер, пересекающих поверхность тора по этим окружностям, будут находиться на перпендикулярах к плоскостям этих окружностей, проведенных через их центры С ¹ , С ² , С ³ , ... Поэтому если взять центры эксцентрических сфер в точках О¹ , О² , О³ , ... пересечения этих перпендикуляров с осью.i² . конической поверхности, то сферы соответствующих радиусов пересекут обе данные поверхности по окружностям. Точки пересечения окружностей обеих поверхностей, принадлежащих одной и той же сфере, и будут точками искомой линии пересечения.

На рис. 6 проведены три эксцентрические сферы из центров О¹ , О² и О³ , с помощью которых найдены случайные точки линии пересечения. Так, для построения точек М и N проведен меридиан 3 - 4 поверхности тора, расположенный во фронтально проецирующей плоскости, проходящей через ось i¹ (i₂ ¹ ), и из его центра С ¹ (C ₂ ¹ ) восстановлен перпендикуляр к этой плоскости. В точке O ¹ (O ₂ ¹ ) пересечения перпендикуляра с осью i² (i₂ ² ) и будет находиться центр вспомогательной сферы. Если теперь провести сферу с центром в точке O ¹ (O ₂ ¹ ) такого радиуса R , чтобы ей принадлежала окружность 3 - 4, то эта сфера, пересекая коническую поверхность по некоторой окружности 1 - 2, определит в пересечении окружностей 1 - 2 и 3 - 4 искомые точки М и N Горизонтальные проекции точек пересечения можно найти с помощью графически простых линий поверхности тора, которыми являются ее параллели. Так, горизонтальные проекции М ₁ и N ₁ точек М и N построены при помощи параллелей f ₁ и f ₂ поверхности тора. Точки видимости Р и Q конической поверхности для плоскости П₁ построены приближенно, их фронтальные проекции найдены в пересечении фронтальных проекций линии пересечения и оси i ² конуса.

Рассмотренные примеры показывают, что способ эксцентрических сфер можно применять для построения линии пересечения двух поверхностей, имеющих общую плоскость симметрия; каждая из этих поверхностей должна содержать семейство окружностей, по которым ее могут пересекать эксцентрические сферы, общие для обеих поверхностей.

Рассмотрим еще несколько примеров.

При пересечении двух соосных поверхностей друг с другом по окружности, если общая ось поверхностей вращения параллельна какой-либо плоскости проекций, эти окружности проецируются на эту плоскость проекций в виде отрезков прямых. Это положение остается в силе и в том случае, когда одна из соосных поверхностей - сфера, центр которой находится на оси другой поверхности вращения.

Применим это свойство к построению проекций линии пересечения двух поверхностей вращения. На рис. 7 изображены два пересекающихся цилиндра. Точки A(a ') и B(b '), принадлежащие линии пересечения, находятся без дополнительных построений - в пересечении очерковых образующих.

Для того, чтобы найти другие точки начертим вспомогательную сферу, центр которой будет совпадать с точкой пересечения осей вращения цилиндров - точкой 0 (о '). Проведем из точки о ' окружность произвольного радиуса R , которая будет проекцией сферы. Сфера и цилиндр — поверхности соосные, поэтому они пересекаются по окружности.

По окружности, которая спроецировалась в прямую линию k 'k ₁ ', сфера пересекается с вертикальным цилиндром, а по линиям m' m ₁ ' и n 'n ₁ ' сфера пересекается с горизонтальным цилиндром.

Найденные линии пересекаются между собой в точках с ' и d '. Эти точки будут принадлежать линии пересечения цилиндров, так как относятся одновременно к обеим поверхностям.

Радиус самой большой из них (R_max ) не должен быть более величины о 'а ', т. е. расстояния от точки пересечения осей вращения тел (цилиндров) до самой удаленной точки, принадлежащей линии пересечения. Радиус самой малой сферы (R_min ) определяется так. Из центра о ' проводят перпендикуляры к образующим каждого из пересекающихся тел, наибольший из этих перпендикуляров и будет искомым радиусом. На рис. 7 такими перпендикулярами являются отрезок о '1' к горизонтальному цилиндру, отрезок о'2' к вертикальному. Из этих перпендикуляров берем наибольший - о'1'. Описываем сферу радиусом R , равным о '1', и находим проекции окружностей, по которым она пересечет оба цилиндра. В месте пересечения проекций этих окружностей определяем точку е ', которая принадлежит линии пересечения.

Следовательно, при построении линии пересечения поверхностей двух тел вращения способом вспомогательных сфер надо радиусы их выбирать такими, чтобы они были не больше радиуса наибольшей и не меньше радиуса наименьшей сфер, т. е. R_min £R < R_max .

Описанный способ носит название способа концентрических сфер. Все вспомогательные сферы в этом случае проводились из одной точки О, которая является точкой пересечения осей поверхностей вращения.

В том случае, когда одна из пересекающихся поверхностей - сфера, для построения на чертеже линии их пересечения можно использовать способ эксцентрических сфер, т. е. сфер, имеющих различные центры.

На рис. 8 дан пример построения проекций линии пересечения сферы с произвольной поверхностью вращения, ось которой находится в одной фронтальной плоскости с центром сферы.

В данном случае в качестве центра вспомогательных сфер, пересекающих данную сферу по окружности, можно принять любую точку пространства, за исключением центра заданной сферы. Центры сфер, пересекающих по окружности данную поверхность вращения, будут лежать на оси вращения этой поверхности. Следовательно, за центр вспомогательных сфер можно принять любую точку, лежащую на оси вращения заданной поверхности.

На рис. 8 проведены две сферы из центров о ₁ ' и о ₂ '. Каждая из них пересекается с заданными в условии задачи поверхностями по окружности, точки пересечения которых и будут искомыми.

Применение вспомогательных сфер, проведенных из различных центров, возможно и в ряде других случаев. Рассмотрим это на следующем примере.

Пример 3. Построить проекции линии пересечения поверхности тора (кругового кольца) с конической поверхностью (рис. 9). Этот случай встречается при построении чертежей крышек подшипников и других деталей.

Проведем через ось вращения тора фронтально - проецирующую плоскость (q '). Она пересечет тор по окружности, диаметр которой будет а 'b '. Окружность считают находящейся на сфере, центр которой о ' расположен на оси вращения конуса. Этот центр находят путем проведения прямой k 'о ', касательной к направляющей окружности тора в точке k '. Сфера, проведенная из точки о ', пересекает конус по окружности, которая проецируется на фронтальную плоскость проекции в отрезок прямой с 'd '. Пересечение линий а 'b ' и с'd' и дает две точки (переднюю - видимую 1' и заднюю - невидимую 2'), принадлежащие линии пересечения конуса с тором. Аналогично найдены точки 3' и 4', 5' и 6'. Точки 7' и 8' определены как точки пересечения очерковых образующих поверхностей.

Способ эксцентрических сфер иногда называют способом скользящих сфер. Он применим и в тех случаях, когда одна из поверхностей второго порядка не является поверхностью вращения, но имеет круговые сечения.

Если в задаче необходимо построить и горизонтальную проекцию линии пересечения поверхностей по фронтальной (или наоборот), то необходимо воспользоваться окружностями одной из заданных поверхностей, на которых лежат найденные фронтальные проекции точек. При этом следует выбирать те окружности, которые на горизонтальную плоскость проекций проецируются без искажения.