Обычно начальные условия таких задач записывают в таблицу. Например, для k поставщиков и l потребителей такая задача имеет следующий вид:

Здесь показатели a_ij означают затраты на перевозку единицы груза от i -го поставщика (i =1,2,…,k ) к j -тому потребителю (j =1,2,…,l ), M_i - мощность i -того поставщика в планируемый период, N_j - спрос j -того потребителя на этот же период. Обозначим через x_ij поставку (количество груза), которая планируется к перевозке от i -того поставщика к j -тому потребителю. Математически задача сводится к нахождению минимума целевой функции, выражающей суммарные затраты на перевозку груза, т.е. функции

при ограничениях

(1)

Если к этим ограничениям добавить еще одно:

,(2)

т.е. суммарная мощность поставщиков равна суммарному спросу потребителей, то соответствующая модель задачи называется закрытой.

Задачам, в которых ограничение (2) отсутствует, т.е.

,

первоначально соответствует открытая модель.

Отметим некоторые особенности экономико-математической модели транспортной задачи.

Система ограничений (1) сразу имеет вид уравнений, поэтому отпадает необходимость вводить добавочные переменные.

Матрица коэффициентов при переменных в системе (1) состоит только из единиц и нулей.

Система ограничений (1) включает k уравнений, связывающих поставки i -того поставщика с мощностью M_i (i =1,2,…,k ) этого поставщика, и l уравнений, связывающих поставки j -тому потребителю со спросом N_j (j =1,2,…,l ) этого потребителя. Заметим, что число k равно числу строк исходной таблицы, а число l - числу столбцов.

Число переменных x_ij , входящих в целевую функцию и в систему уравнений (1), равно произведению kl, т.е. числу клеток таблицы.

Таким образом, система ограничений (1) есть система из k+l уравнений с kl переменными.

Любое решение транспортной задачи (x ₁₁ , x ₁₂ ,…, x_kl ) называется распределением поставок. Так как поставки не могут быть отрицательными, то речь идет только о допустимых решениях.

Оптимальному решению транспортной задачи соответствует оптимальное распределение поставок, при котором целевая функция достигает своего минимума.

В ходе решения задачи и нужно получить это оптимальное распределение поставок, которому соответствует какое-то допустимое базисное решение системы ограничений (1). [4]

3. Необходимое и достаточное условия разрешимости транспортной задачи

Ограничение (1) и условия неотрицательности переменных, исключающие обратные перевозки x_ij >0; i= 1, 2, …, k ; j = 1, 2,., l .

Эти условия образуют систему ограничений. Любой план, компоненты которого удовлетворяют этой системе, будет допустимым.

Как видим, система ограничений задана в основном (k + l ) уравнениями. Установим условия, при которых эта система будет совместной, т.е. будет иметь решения.

Сложим элементы x_ij матрицы перевозок по строкам, каждая строка в сумме дает M_i, и в итоге получим . Сложим те же элементы по столбцам, каждый столбец дает N_j, и в сумме получим . Но от перестановки слагаемых сумма не меняется, поэтому для любого допустимого плана обязательно будет выполняться условие

.

Равенство является необходимым условием совместности ограничений задачи.

Докажем и достаточность этого условия: если запасы равны потребностям, то всегда имеется допустимый план.

Действительно, пусть . Рассмотрим такие числа: