Реферат: Методы подобия и моделирования с привлечением физических уравнений
Действительно, для консольной балки постоянного прямоугольного сечения, нагруженной сосредоточенной силой Р на конце, уравнения одномерных полей нормальных и касательных напряжений (для фиксированного сечения х = 0) в критериальной форме имеют вид [84]
Здесь принято (b/l)= 1/10, (h/l) = 1/5, где 6, А, / — размеры поперечного сечения и длина консоли; г — текущая координата, совпадающая с вертикалью в плоскости изгиба балки.
Вычисляя отношения максимальных значений а и т к высотам сечений для каждой из геометрически подобных балок 1 и 2, с помощью формул (3.8) найдем
То есть эпюры нормальных и касательных напряжений для образцов 1и 2 можно совместить между собой только путем неравномерной деформации в ортогональных направлениях а — г или v — г (рис. 3.1). Это свидетельствует об аффинности геометрических образов полей напряжений аит (3.8) при механическом подобии балок.
Нестационарным полем физической величины Qj называется совокупность мгновенных значений этой величины во всех точках данного пространства или объема.
Для нестационарных задач поле переменной Qj в отличие от (3.2) имеет вид
Аналогично тому, как это было сделано для стационарного поля, можно показать, что в сходственных точках подобных нестационарных полей в сходственные моменты времени безразмерные координаты и безразмерные физические переменные соответственно равны.
Кроме того, геометрические отображения подобных нестационарных полей в сходственные моменты времени обладают свойствами аффинности и могут быть совмещены между собой путем неравномерной деформации.
Заканчивая рассмотрение подобия стационарных и нестационарных физических полей, остановимся на свойствах инвариантности безразмерных уравнений, описывающих подобные физические поля.
Рассмотрим с этой целью уравнения полей двух механически подобных систем 1 и 2 (3.3). Согласно П-теоремы анализа размерностей, каждое из этих уравнений всегда может быть преобразовано к безразмерной (критериальной) форме, содержащей в качестве новых переменных безразмерные комбинации основных параметров
Здесь k = п — г; г — ранг матрицы размерностей переменных Qj.
Так как объекты 1 и 2 механически подобны, для безразмерных комбинаций П/, представляющих собой критерии подобия, имеют место равенства
Согласно условиям подобия (3.11) левые части уравнений (3.10) равны между собой. Кроме того, попарно равны также сходственные аргументы функций Q г и Q 2 .
Поскольку равенство левых частей уравнений (ЗЛО) должно выполняться при любых значениях определяющих критериев подобия, функции вх и в2 — тождественно одинаковы:
Таким образом, безразмерные критериальные) уравнения физических полей тождественно совпадают между собой, если соответствующие им объекты 1 и 2 удовлетворяют условиям механического подобия.
§ 2. Масштабные преобразования алгебраических и дифференциальных уравнений. Теоремы подобия
До сих пор вопросы подобия явлений обсуждались нами с позиций анализа размерностей физических величин. Перейдем к рассмотрению условий подобия, исходя из анализа физических уравнений процесса.
Будем считать известными уравнение или систему дифференциальных уравнений с соответствующими граничными и начальными условиями, которые полностью определяют данный механический процесс или явление.
Предположим вначале, что решение рассматриваемой системы дифференциальных уравнений известно и может быть "представлено в форме одного или нескольких конечных соотношений между переменными:
Здесь величины Qj (/ = 1, 2, п) включают независимые переменные, искомую функцию и остальные основные параметры некоторого решения «s».