Реферат: Методы подобия и моделирования с привлечением физических уравнений

Таким образом, операции дифференцирования и интегрирования в физических уравнениях не изменяют условий подобия механических состояний и процессов [76].

В качестве примера масштабных, преобразований физических уравнений, содержащих дифференциальные операторы, рассмотрим уравнения краевой задачи об изгибе консольной балки (см/, рис, 3.2) для объекта 1 [84]:

Решение системы дифференциальных уравнений (3.22) в форме конечных соотношений (3.18) было использовано выше для примера подобных преобразований алгебраических уравнений.

Введем масштабы для всех переменных и постоянных величин, входящих в дифференциальные уравнения и краевые условия (3.22):

Заменяя все физические величины в уравнениях изгиба балки объекта 2 через переменные с индексом 1 по формулам (3.23) и учитывая правила масштабных преобразований дифференциальных операторов, получим при 1₀ Ф О, о₀ Ф О, Р₀ Ф О

Результаты масштабных преобразований краевой задачи для дифференциальных уравнений (3.22) и для интеграла этих же уравнений (3.18) в алгебраической форме подтверждают вывод о независимости условий механического подобия от операторов дифференцирования в физических уравнениях.

В заключение обсуждения вопросов подобия механических систем на основе масштабных преобразований физических уравнений сформулируем три основные теоремы подобия [37].

Теорема I. В подобных явлениях критерии подобия имеют одинаковые численные значения.

Теорема II. Все конечные и дифференциальные уравнения, описывающие реальные физические процессы, могут быть преобразованы в уравнения, выражающие однозначную связь между критериями подобия.

Теорема III. Необходимые и достаточные условия подобия явлений заключаются в равенстве численных значений определяющих критериев подобия. Равенство численных значений остальных критериев является следствием существования подобия.

§ 3. О моделировании задач с начальными и граничными условиями

Дифференциальные уравнения механики элементов конструкций устанавливают взаимную связь между пространственными и временными изменениями физических переменных изучаемого явления. Эти уравнения описывают в пределах элементарного объема все без исключения явления данного класса, независимо от геометрической конфигурации объекта и характера его взаимодействия с окружающей средой.

Для того чтобы выделить из целого класса единичное явление, необходимо присоединить к дифференциальным уравнениям определенные условия, которые позволили бы рассматривать конкретный случай поведения объекта. Эти условия определяются:

1) распределением в пространстве существенных для процесса параметров системы для начального момента времени;

2) характером взаимодействия системы с окружающими объектами и внешней средой для каждого момента времени.

Условия 1 и 2 представляют собой соответственно начальные и граничные (или краевые) условия.

Система дифференциальных уравнений вместе с начальными и граничными условиями дает полную математическую формулировку поставленной задачи как для натурного объекта, так и для его модели.

Если дифференциальные уравнения совместно с начальными и краевыми условиями приведены к безразмерному виду, задание численных значений безразмерных начальных и краевых условий совместно с определяющими критериями подобия (§ 2.1) выделяет из всего класса механических состояний или процессов уже не единичное явление, а группу подобных явлений [101 ].

Таким образом, существенным элементом при исследовании подобия методом масштабных преобразований физических уравнений g целью последующего моделирования механических состояний или процессов являются преобразования подобия начальных и краевых условий совместно с преобразованиями самих дифференциальных уравнений.

Рассмотрим особенности моделирования в задачах с начальными и граничными условиями на примере вынужденных поперечных колебаний стержня с учетом внутреннего трения в материале.

Для учета внутреннего трения в качестве уравнения состояния материала воспользуемся моделью упруговязкого тела Фойгта [86]. В этом случае напряжение а и деформация е в продольных волокнах стержня связаны зависимостью

где Е — модуль упругости; — коэффициент вязкости.

Принимая в дополнение к закону (3.25) гипотезу плоских сечений, придем к дифференциальным зависимостям для поперечных движений стержня [9]

Здесь х, i — осевая координата и время m, EJ — погонная масса и изгибная жесткость стержня; w (х_у t)₉ Q (х, t)₉ М (х, t) — текущие значения прогибов, перерезывающих сил и изгибающих моментов.