Реферат: Методы решения уравнений в странах древнего мира

2z² + 200 = 208,

откуда

z = 2; х = 2 + 10 = 12; у = 10 — 2 = 8.

Диофантовы уравнения.

Задача Диофанта №80 (Из II книги его “Арифметики”)

Найти 2 таких числа, чтобы сумма квадрата каждого из них с другим искомым числом дала полный квадрат,

Решение Диофанта

Пусть первое число (I) будет s. Чтобы квадрат его •при прибавлении второго числа дал квадрат, второе число должно быть 2s + 1, так как в таком случае вы­полняется требование задачи: квадрат первого числа. сложенный со вторым, дает

s² + 2s + 1, то есть полный квадрат (s + 1)² .

Квадрат второго числа, сложенный с первым, должен также дать квадрат, то есть число (2s + I)² + s, равное

4s² + 5s + 1 == t²

Положим, что t = 2s — 2; тогда t² = 4s² — 8s + 4. Это выражение должно равняться 4s² + 5s + 1. Итак, должно быть:

4s² — 8s + 4 == 4s² + 5s + l откуда s=

Значит, задаче удовлетворяют числа:

.

Проверка;

Почему Диофант делает предположение, что t==2s—2, он не объясняет. Во всех своих задачах (в дошедших до нас шести книгах его их 189) он делает то или другое предположение, не давая никакого обоснования.

Вообще содержание 6 книг таково:

В “Арифметике” 189 задач, каждая снабжена одним или несколькими решениями. Задачи ставятся в общем виде, затем берутся конкретные значения входящих в нее ве­личин и даются решения.

Задачи книги I в большинстве определенные. В ней имеются и такие, которые решаются с помощью систем двух уравнений с двумя неизвестными, эквивалентных квадратному уравнению. Для его разрешимости Диофант выдвигает условие, чтобы дискриминант был полным квадратом. Так, задача 30— найти таких два числа, чтобы их разность и произведение были заданными числами,— приводится к системе

х — у = а, х = b.

Диофант выдвигает “условие формирования”: требуется, чтобы учетверенное произведение чисел, сложенное с квад­ратом разности их, было квадратом, т. е. 4b + а² = с² .

В книге II решаются задачи, связанные с неопределен­ными уравнениями и системами таких уравнений с 2, 3, 4, 5, 6 неизвестными степени не выше второй.

Диофант применяет различные приемы. Пусть необхо­димо решить неопределенное уравнение второй степени с двумя неизвестными f₂ (х, у) ==0. Если у него есть ра­циональное решение (x₀ , y₀ ), то Диофант вводит подста­новку

x = x₀ + t,

y = y₀ + kt,

в которой k рационально. После этого основное уравнение преобразуется в квадратное относительно t, у которого свободный член f₂ ( x₀ , у ₀ ) = 0. Из уравнения получается t₁ == 0 (это значение Диофант отбрасывает), t₂ — рацио­нальное число. Тогда подстановка дает рациональные х и у.

В случае, когда задача приводилась к уравнению у² = ax² + bx + с, очевидно рациональное решение x₀ = О,y₀ =±C . Подстановка Диофанта выглядит так:

x = t,

y = kt ± c

Другим методом при решении задач книги II Диофант пользовался, когда они приводили к уравнению у² == = a² x² + bx + с. Он делал подстановку

x= t,

y = at + k,

после чего х и у выражались рационально через параметр k:

Диофант, по существу, применял теорему, состоящую в том,; что если неопределенное уравнение имеет хотя бы одно рациональное решение, то таких решений будет бес­численное множество, причем значения х и у могут быть представлены в виде рациональных функций некоторого параметра”

В книге II есть задачи, решаемые с помощью “двойного неравенства”, т. е. системы

ах + b = и² ,

сх + d == v² .

Диофант рассматривает случай а = с, но впоследствии пишет, что метод можно применить и при а : с = т² , Когда а == с, Диофант почленным вычитанием одного ра­венства из другого получает и² —и² = b — d. Затем раз­ность b — d раскладывается на множители b — d = п1 и приравнивает и + v = I, и — v = п, после чего нахо­дит

и = (I + п)/2, v = (I - n)/2, х - (l² + п² }/ 4a - {b + d)/2a.

Если задача сводится к системе из двух или трех урав­нений второй степени, то Диофант находит такие рацио­нальные выражения неизвестных через одно неизвестное и параметры, при которых все уравнения, кроме одного, обращаются в тождества. Из оставшегося уравнения он выражает основное неизвестное через параметры, а затем находит и другие неизвестные.

Методы, разработанные в книге II, Диофант применяет к более трудным задачам книги III, связанным с системами трех, четырех и большего числа уравнений степени не выше второй. Он, кроме того, до формального решения задач проводит исследования и находит условия, которым должны удовлетворять параметры, чтобы решения сущест­вовали.

В книге IV встречаются определенные и неопределен­ные уравнения третьей и более высоких степеней. Здесь дело обстоит значительно сложнее, потому что, вообще говоря, неизвестные невозможно выразить как рациональ­ные функции одного параметра. Но, как и раньше, если известны одна или две рациональные точки кубической кривой fз (х, у) == 0, то можно найти и другие точки. Диофант при решении задач книги IV применяет новые методы”