Реферат: Методы решения уравнений в странах древнего мира

При решении задач Диофант дважды рассматривает урав­нение Пелля ax² + 1 = у² .

Задачи книги VI касаются прямоугольных треуголь­ников с рациональными сторонами. К условию х² + у² == z² в них добавляются еще условия относительно площа­дей, периметров, сторон треугольников.

В книге VI доказывается, что если уравнение ax² + b == у² имеет хотя бы одно рациональное решение, то их будет бесчисленное множество. Для решения задач книги VI Диофант применяет все употребляемые им спо­собы.

Кстати, в одном из древних рукописных сборников задач в стихах жизнь Диофанта описывается в виде следующей алгебраиче-юй загадки, представляющей надгробную надпись на его могиле

Прах Диофанта гробница покоит; дивись ей—и камень

Мудрым искусством его скажет усопшего век.

Волей богов шестую часть жизни он прожил ребенком.

И половину шестой встретил с пушком на щеках.

Только минула седьмая, с подругою он обручился.

С нею пять лет проведя, сына дождался мудрец;

Только полжизни отцовской возлюбленный сын его прожил.

Отнят он был у отца ранней могилой своей.

Дважды два года родитель оплакивал тяжкое горе,

Тут и увидел предел жизни печальной своей.

Задача-загадка сводится к составлению и решению уравнения:

откуда х = 84 = вот сколько лет жил Диофант.

Неопределённое уравнение x² + y² = z²

Такое неопределённое уравнение исследовали пиффагорийцы, целые решения которого поэтому называют “пифагоровыми тройками”, они нашли бесконечно много таких троек, имеющих вид:

Кубические уравнения

Более систематическое исследование задач, эквивалентных кубическим уравнениям, относится только к эпохе эллинизма. Архимед в сочи­нении “О шаре и цилиндре” (книга II, предложение 4) свел задачу о рас­сечении шара плоскостью на два сегмента, объемы которых имели бы за­данное отношение т : п (т > п), к нахождению высоты х большего сегмен­та из пропорции

(1)

где а — радиус шара.

Архимед обобщает задачу: рассечь заданный отрезок а на две части х и а —х так, чтобы

(а — х) : с = S : х² , (2)

где с и S — заданные отрезок и площадь.

Заметив, что при такой общей постановке задача не всегда разрешима (имеются в виду только положительные действительные решения), Архи­мед приступает к ее исследованию с тем, чтобы наложить ограничения на с и S. Он говорит, что изложит полное решение задачи “в конце”, однако соответствующее место не сохранилось. Жившие на столетие позже Архи­меда греческие геометры Диокл и Дионисодор уже не знали его. Они предложили собственные, гораздо более сложные решения, но никто из них не сумел провести анализ общего случая.

Только в VI в. н. э. комментатор Архимеда Евтокий нашел утраченное место. Архимед решает задачу с помощью двух конических сечений:

Параболы

(3)

и гиперболы

(4)

(здесь положено S = pb). Оба уравнения легко получить из пропорции (2). Для выяснения необходимых условий Архимед переходит от пропорции (2) к кубическому уравнению

x² (a-x) = Sc (5)

которое он выражает словесно как соотношение между объемами. Ясно, что уравнение (5) может иметь положительные корни, если

Итак, проблема сводится к нахождению экстремума х² (а — х).

Оставим пока в стороне вопрос о методе экстремумов Архимеда, мы вер­немся к этому, когда будем говорить об инфинитезимальных методах древ­них. Скажем только, что Архимед полностью исследовал условия сущест­вования положительных вещественных корней уравнения (5), а именно:

1) если Sc < 4³ /27, то на участке (0, а) имеются два таких корня;

2) если Sc = 4a^з /27, то имеется один корень (как сказали бы мы,— двукратный);