Реферат: Модель межотраслевого баланса Леонтьева

Рассмотрим n отраслей промышленности, каждая из которых производит свою продукцию. Обозначим - валовой выпуск продукции отрасли i , продукция каждой отрасли потребляется в данной отрасли и во всех других отраслях экономики (в противном случае соответствующее значение переменной равно нулю), часть продукции потребляется вне сферы материального производства и называется конечным продуктом. Обозначим - величина продукта, произведенного в отрасли i , потребляемого в отрасли j , - величина конечного продукта отрасли i . Тогда производство и потребление продукции каждой отрасли может быть записано в виде

или для всех отраслей экономики региона в виде системы уравнений

(1.5.1)

Построенная система линейных уравнений носит название системы балансовых уравнений , т.к. определяет объемы произведенной и потребляемой продукции по отраслям.

Величина называется коэффициентом прямых затрат и определяет долю продукции отрасли i , которая потребляется в отрасли j . Тогда и систему межотраслевого баланса можно представить в виде системы линейных уравнений

(1.5.2)

Обозначим матрицы

и рассмотрим матричное уравнение (1.5.3), соответствующее системе (1.5.2)

, (1.5.3)

в котором матрица (вектор) Х называется вектором валового выпуска по отраслям, матрица А называется матрицей прямых затрат или технологической матрицей, матрица (вектор) Y называется вектором конечного продукта. Матричное уравнение (1.5.3) носит название модели межотраслевого баланса Леонтьева и позволяет решать задачи трех видов:

1) по известным величинам валового выпуска продукции отраслей Х и технологической матрице А можно вычислить величину конечного продукта Y :

из моде ли

где Е – единичная матрица. Следовательно,

(1.5.4)

2) по заданным величинам конечного продукта Y и технологической матрице А можно определить необходимый выпуск продукции Х:

из модели

Следовательно,

(1.5.5)

3) по известным величинам валового выпуска некоторых отраслей , заданным значениям конечного продукта других отраслей и матрице прямых затрат А можно определить конечный продукт первых отраслей и валовой выпуск вторых, используя модель Леонтьева в виде системы уравнений (1.5.2).

Матрица называется матрицей полных затрат , так как каждый ее элемент - величина валового выпуска отрасли , необходимого для обеспечения выпуска единицы конечного продукта отрасли .

Матрица называется продуктивной , то есть существует решение в модели Леонтьева, если найдется такой вектор (матрица) , что .

Критерий продуктивности. Для того, чтобы матрица прямых затрат была продуктивной необходимо и достаточно, чтобы выполнялось одно из условий:

1) существует обратная матрица , все элементы которой неотрицательны,

2) матричный ряд сходится, причем его сумма равна ,

3) наибольшее по модулю собственное значение матрицы , то есть решение характеристического уравнения , было строго меньше единицы,

--> ЧИТАТЬ ПОЛНОСТЬЮ <--