Реферат: Монотонність функції необхідні і достатні умови Eкстремум функції однієї та декількох змінних

Знайти інтервал зростання і спадання функції .

Р о з в ’ я з о к. Обчислимо похідну

.

Знайдемо точки, в яких . Це точки, в яких . Розв’яжемо цю нерівність:

.

Отже, в інтервалі функція зростає; в інтервалах

функція спадає.

1 .2. Екстремуми функцій

Нехай функція визначена в деякій області і точка внутрішньою точкою

області .

Означення. Функція в точці має максимум, якщо для всіх точок деякого околу цієї точки виконується нерівність

. (6.85)

Означення. Функція в точці має мінімум, якщо для всіх точок деякого околу цієї точки виконується нерівність

. (6.86)

Максимуми і мінімуми функції називаються її екстремумами.

Необхідні умови існування екстремуму.

Теорема.1. Якщо диференційована функція має в точці екстремум, то .

Д о в е д е н н я. Нехай, наприклад, функція має в точці максимум. Тоді при достатньо малому , а тому

Переходячи до границі при , одержимо:

Згідно з умовою - диференційована функція в точці . Тому одержані границі дорівнюють . Таким чином, маємо і , отже .

Теорема 2. У точці екстремуму функції кількох змінних кожна її частинна похідна першого порядку або дорівнює нулю, або не існує.

Д о в е д е н н я. Нехай функція в точці має максимум – для конкретності. Зафіксуємо значення всіх змінних, крім однієї, наприклад , поклавши їх рівними між собою: .

Тоді функція стає функцією однієї змінної :

.

За умовою теореми функція має максимум, тобто,

Остання нерівність означає, що функція як функція однієї змінної в точці має максимум. На основі вище доведеної теореми виводимо, що в точці похідна дорівнює нулю або не існує. Аналогічно доведемо, що і всі інші частинні похідні першого порядку в точці дорівнюють нулю або не існують.