Реферат: Некоторые темы геометрии
ПОНЯТИЕ ФУНКЦИИ.
Если некоторому множеству значений поставлено по определенному правилу F во взаимнооднозначное соответствие некоторое множество
, то тогда говорят, что на множестве
определена функция
. Множество
называется областью изменения функции, множество
– областью определения функции. Такая функция называется однозначной.
ЧИСЛОВАЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ. ПРЕДЕЛ ЧИСЛОВОЙ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ
Если некоторому множеству значений поставлено по определенному правилу F несколько значений из множества
, то тогда говорят, что на множестве
задана многозначная функция.
Для того чтобы обозначить, что есть функция от
, используют следующие виды записи:
;
;
и т.д.
Если невозможно выразить , тогда говорят, что задана неявная функция и записывают:
;
;
и т.д.
Если надо выделить некоторое частное значение функции, соответствующее какому-либо конкретному значению , тогда записывают:
.
Если каждому натуральному n по какому-либо известному правилу поставлено в соответствие некоторое число, тогда говорят, что задана последовательность
,которая обозначается как
Правило, по которому формируется последовательность
, обозначается как
и называется общим числом последовательности. Число
назовем пределом последовательности
при
стремящимся к
, если для любого положительного, наперед заданного числа e, определяющего окрестность точки A, можноуказать такую d, что для любого
, отличного от
из отрезка
значений функции
принадлежит
и это записывают как
.
Последовательностьназывается бесконечно большой , если для любого числа
найдется номер N, такой что для всех
выполняется неравенство
. Геометрически это обозначает, что какой бы большой номер числа последовательности мы ни взяли, то всегда найдется число, принадлежащее этой последовательности, и лежащее правее выбранного, если последовательность составлена из положительных чисел, или левее, если последовательность составлена из отрицательных. Это записывают
, или
.
Последовательность называется бесконечно малой , если
ТЕОРЕМА: Для того чтобы последовательностьсходилась к числу A необходимо и достаточно, чтобы выполнилось равенство
, где
.
Эта теорема дает связь между пределом сходящейся последовательности и бесконечно малыми.
Функции называется непрерывной при
или в точке
, если выполняется
.А так как функция при этом должна быть непрерывной в точке
, то должно быть справедливо
.
Функция называется непрерывной в точке
, если для всех положительных, сколь угодно малых e можно указать такое положительное число
, для которого выполняется неравенство
для всех
из отрезка
.
ТЕМА 8. Производная.
ПРОИЗВОДНАЯ, ЕЁ СВОЙСТВА И ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ. ДИФФЕРЕНЦИАЛ. ПРОИЗВОДНАЯ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ
![]() |
Если отношение имеет предел при
этот предел называютпроизводной функции
при заданном значении
и записывают
.
Производная функции в точке
численно равна тангенсу угла, который составляет касательная к графику этой функции построенной в точке
с положительным направлением с осью
Из определения ясно - в случае убывающей функции производная отрицательна. Это объясняется тем, что , если
будет отрицательным. На этом свойстве производной основано исследование поведения функции на возрастание (убывание) на заданном отрезке.
Производная алгебраической суммы равна алгебраической сумме производных. .
Производная произведения равна .
Если функция имеет в точке
производную
и функция
имеет в точке
производную
, тогда сложная функция
имеет в точке
производную, равную
Если имеет в точке
производную, отличную от нуля, тогда в этой точке обратная функция
также имеет производную и имеет место соотношение
.
Дифференцируя производную первого порядка, можно получить производную второго порядка, а, дифференцируя полученную функцию, получаем производную третьего порядка и т.д.
Пример 1. ;
;
; ...;
;
.
Пример 2. ;
;
;
;
. Так как
, то можно предположить, что в данном случае функцию можно дифференцировать бесконечное количество раз.
Пример 3. .
. Как и во втором примере, эта функция дифференцируема бесконечное количество раз.
Пример 4. .
;
;
; …
; ...Как следует из приведенных примеров, разные функции ведут себя по-разному при многократном дифференцировании. Одни имеют конечное количество производных высших порядков, другие – переходят сами в себя, а третьи, хотя и дифференцируемы бесконечное количество раз, но порождают новые функции, отличные от исходной. Однако все сформулированные теоремы о производных первых порядков выполняются для производных высших порядков.
ТЕМА 9. Экстремум функции.