Реферат: Неперервність функції в точці і в області Дії над неперервними функціями Формулювання основних

Нехай в деякій точці функція неперервна функція аргументу , а у відповідній точці функція неперервна як функція аргументу . Інакше,

,

.

Тоді

,

що доводить теорему.

Теорема. Якщо функція неперервна в точці , а функція неперервна в точці , то й функція неперервна в точці .

Враховуючи можливість поширення доведеного твердження на будь-яке (означене) число накладання функціональних залежностей, можна сформулювати теорему.

Теорема. Якщо накладання будь-якого (означеного) числа неперервних функціональних залежностей приводить до складної функції, то вона буде неперервною функцією основного аргументу.

Сформулюємо теорему, яка дає достатні умови існування та неперервності оберненої функції.

Теорема. Якщо функція визначена на відрізку і є на цьому відрізку неперервною і зростаючою (спадною), то для цієї функції на відрізку існує обернена функція , яка на відрізку є також неперервною і зростаючою (спадною).

Неперервність основних елементарних функцій.

Користуючись означенням неперервності функцій, покажемо, наприклад, що функція неперервна в кожній точці числової осі.

Візьмемо довільну точку . Тоді для будь-якого числа повинно існувати таке число , що нерівність

виконується для всіх , що задовольнять нерівності .

Покажемо, що таке число існує. Для цього ліву частину нерівності запишемо у вигляді

Таким чином, для того щоб виконувалася нерівність

,

достатньо, щоб .

Поклавши , впевнюємося, що з нерівності випливає нерівність . Це й доводить неперервність функції у довільній точці числової осі.

Аналогічно розглядаючи кожну елементарну функцію, можна було б довести теорему .

Теорема. Кожна елементарна функція неперервна в кожній точці, в якій вона означена.

Класифікація розривів неперервності функції.

Означення. Точка називається точкою згущення множини , якщо в кожному її колі знаходиться хоча б одна точка, відмінна від .

Точка згущення може і належати області , але може і не належати їй. Очевидно, що всі внутрішні точки множини є точками згущення і при цьому належать . Граничні точки можуть бути точками згущення , а можуть і не бути (їх тоді називають ізольованими).

Означення . Кожна точка згущення області означення функції , що не є точкою неперервності, називається точкою розриву цієї функції.