Физика / Реферат: Нерівноважні поверхневі структури реакційно-дифузійних систем типу активатор-інгібітор

Реферат: Нерівноважні поверхневі структури реакційно-дифузійних систем типу активатор-інгібітор

Поверхневі структури . Біфуркація Хопфа та Тюрінга . Досліджено властивості поверхневих структур, що виникають у двовимірній системі ФХН як при реалізації біфуркацій Хопфа та Тюрінга, так і при їх порогах. Показано, що у обох цих випадках присутня взаємодія та конкуренція біфуркацій, а режими, що при цьому виникають, є результатом їх спільної дії.

За початкове збурення було вибрано імпульс малої амплітуди, що прикладався до стаціонарної точки системи. Граничні ж умови, як і раніше, відповідали відсутності потоку через границю області інтегрування.

Випадок реалізації обох біфуркацій і Хопфа, і Тюрінга у системі ФХН з трьома стаціонарними точками зображений на рис. 4. Значеннями параметрів системи ФХН були: На рисунку за допомогою кольору відображений профіль активатора . Темний колір відповідає меншому значенню активатора, світлий - його більшому значенню (див. лінійку зліва). Розвиток структури відбувається досить швидко. У центрі області виникає локалізована стаціонарна структура з кількох піків, навколо якої у процесі автоколивань утворюються концентричні структури, що мають виразні границі.

Автоколивання системи відображаються на знімках як зміна кольору їх фону. Кількість піків визначається співвідношенням між просторово-часовими шкалами системи, а кількість концентричних структур - розміром розглядуваного просторового домену. Дисперсійні криві та , що відповідають розглядуваному випадку реалізації обох біфуркацій у бістабільній системі ФХН, зображені на рис. 4 зліва.

Найбільш складна за формою поверхнева структура, отримана у роботі, виникає у випадку системи ФХН з єдиною стаціонарною точкою, нестійкою до обох біфуркацій (рис. 5). Значеннями параметрів системи ФХН були: . У процесі автоколивань системи відбувається народження стаціонарних структур, кількість яких поступово збільшується, а форма ускладнюється. Спочатку, внаслідок збурення стаціонарної точки, у системі формується єдина локалізована стаціонарна структура у вигляді піку зі зміненою вершиною. Потім навколо неї у процесі автоколивань системи утворюються більш складні поверхневі структури. Як і раніше, темний колір відповідає меншому значенню активатора, світлий - його більшому значенню. Вигляд дисперсійних кривих та характеристичного поліному (4) був подібний до зображених на рис. 4, тому не наводиться.

На противагу такому процесу ускладнення форми структур, для системи ФХН з єдиною стаціонарною точкою, де реалізується біфуркація Хопфа та поріг біфуркації Тюрінга, спостерігалися переходи від простих поверхневих структур до більш складних і навпаки (рис. 6). Значеннями параметрів були: . Дисперсійні криві та для цих значень системи ФХН відрізнялися від зображених на рис. 4 положенням другого максимуму кривої . Він знаходився у області негативних значень.

Період автоколивань отриманих поверхневих структур та хвильове число, яке б їх характеризувало, знайти складно. Існує певна залежність остаточного вигляду структури від вибраного розміру просторового домену та початкових умов. Крім того, існує широкий діапазон значень параметрів, що дають одну і ту ж картину розподілу. Тому на даний момент ми не можемо представити карту можливих типів структур в залежності від значень параметрів системи. Двовимірні просторово-часові структури моделі ФХН не можна розглядати як концентраційний розподіл речовини у хімічних реакційно-дифузійних системах, так як у моделі ФХН активатор та інгібітор можуть приймати і позитивні, і негативні значення. Проте за формою деякі з них є дуже подібними до експериментальних хімічних нерівноважних структур. Останні сьогодні розглядаються як можливі елементи пам’яті у нових хімічних комп’ютерах. Система ФХН є чудовою базовою моделлю для аналізу нових потенційно можливих структур у живих системах. Отримані структури ми розглядаємо як певні біологічні сигнали. Часто результати чисельного моделювання не тільки відтворюють основні експериментальні дані, а й передбачають можливість отримання нових цікавих явищ.

Четвертий розділ бувприсвячений дослідженню нестійкості Хопфа при електрокаталітичній реакції на поверхні малої частинки, в якості якої виступав сферичний мікроелектрод. Лінійна стійкість модельної електрохімічної системи досліджувалася на основі аналізу її комплексного опору – імпедансу. Показано, що нестійкість в системі обумовлюється негативним імпедансом, значення якого визначається взаємодією процесів масопереносу і адсорбції-десорбції, що залежить від потенціалу і відбувається перед реакцією переносу заряду.

Електрокаталітичні реакції на поверхні малих частинок. Розглядався випадок частинок одного сорту, що дифундують з дифузійного шару Нернста до поверхні сферичного мікроелектрода, на якій вони адсорбуються і електрохімічно окислюються:

, (13)

де k _a , k _d , k _e - константи швидкості адсорбції, десорбції і переносу електрона відповідно. Без врахування впливу омічних втрат та подвійного шару, рівняннями кінетики адсорбції-десорбції та швидкості переносу електрона будуть

(14)

, (15)

де R ₀ – радіус електрода (початок координат збігається з центром сфери), C (R ₀ , t ) – концентрація електроактивних частинок на поверхні електроду, q(t ) – степінь покриття електродної поверхні адсорбатом, G – максимальна поверхнева концентрація, g – параметр взаємодії (позитивне значення цієї константи відповідає притяганню, а негативне – відштовхуванню між адсорбованими частинками), F – число Фарадея, R – газова постійна, T – абсолютна температура, a – фактор симетрії електронного переносу в напрямку окислення, E – потенціал електрода. Рівняння (14) в стаціонарному стані при =0 є ізотермою Фрумкіна, що зв'язує ступінь покриття електродної поверхні з об'ємною концентрацією C ₀ .

Зміна степені покриття електродної поверхні адсорбатом q (t) та концентрація C (r ,t ) задовольняють рівнянням

(16)

, (17)

де D – коефіцієнт дифузії, товщина дифузійного шару Нернста. Граничні умови враховували те, що на поверхні електроду дифузійний потік рівний швидкості адсорбції-десорбції, а також те, що на відстані об’ємна концентрація частинок A постійна і рівна C ₀ . Були розраховані значення стаціонарного потенціалу електрода E _s (відлік проводився від потенціалу нульового заряду електрода, вільного від адсорбованих частинок) та значення стаціонарної концентрації частинок A на поверхні електроду , коли швидкість адсорбції-десорбції є рівною швидкості переносу електрона.

Для обчислення комплексного фарадеєвського імпедансу даної системи розглядалася її поведінка під дією малого періодичного сигналу, що накладався на стаціонарне значення поляризаційного потенціалу

де , комплексна частота s рівна . У відповідь на це збурення степінь покриття електродної поверхні , фарадеєвський струм і концентрація коливатимуться в околі стаціонарних значень