Реферат: О некоторых применениях алгебры матриц

- называется циклической матрицей или циркулянтом (третьего порядка), а ее определитель – циклическим определителем. Циклическим определителем некоторые авторы называют также циркулянтом.

Пусть дан циклический определитель (Циркулянт)

.

Прибавив первые две строки к третьей, получим:

.

Вынесем общий множитель из последней строки:

.

Так как

,

то

.

С другой стороны, по определению детерминанта имеем:

Следовательно, выполняется тождество

(1)

Имеет место следующее предложение.

Предложение 1 . Уравнение

(2)

не имеет решений в натуральных числах

Доказательство : Если - вещественные положительные числа, не все равные между собой, то

(3)

Пусть - не все равные между собой положительные числа. Тогда существуют положительные числа и , не все равные между собой, такие, что . К этим числам применим тождество (1). Так как не все числа между собой равны, то последний сомножитель правой части тождества (1) есть число положительное и, следовательно,

,

. (4)

Так как , то неравенство (4) дает неравенство (3). (Неравенство (3) можно переписать в виде ; получим известный факт о том, что среднее арифметическое трех положительных, не равных между собой чисел больше их среднего геометрического).

Пусть и - натуральные числа, удовлетворяющие уравнению (2). Представляются две возможности: либо числа все равны между собой, либо не все эти числа равны друг другу.

В первом случае все они должны быть равны 1, так как она положительные и , и мы имели бы:

- противоречие.

Значит, не все три числа равны между собой; поэтому в силу неравенства (3) имеем

,

откуда

.

Таким образом, доказано что уравнение