Реферат: О некоторых применениях алгебры матриц

не имеет решений в натуральных числах .

Предложение 2 . Уравнение

разрешимо в натуральных числах .

Доказательство : удовлетворяют нашему уравнению. Если не все три числа между собой равны, то как мы видели в ходе доказательства Предложения (1), выполняется неравенство

- противоречие. Таким образом, должно быть , и из нашего уравнения следует, что каждое из этих чисел равно 1, так что .

Поэтому получаем

.

Итак, мы доказали, что заданное уравнение имеет бесконечно много решений в натуральных числах .

Предложение 3 . Произведение двух чисел, каждое из которых является суммой двух квадратов, представимо в виде суммы двух квадратов.

Доказательство : Рассмотрим следующее произведение двух циклических матриц (второго порядка)

где - мнимая единица. Переходя к определителям, получим равенство

. (5)

Предложение 4 . Если число представляемое в виде суммы двух квадратов, делится на простое число, являющееся суммой двух квадратов, то частное также является суммой двух квадратов.

Доказательство : Пусть число делится на простое число вида :

.

Требуется доказать, что частное имеет вид .

Предположим, что задача уже решена, т.е.

, (6)

и с помощью анализа попробуем найти искомые числа и . Гипотетическое равенство (6) подсказывает целесообразность рассмотрения матричных равенств.

и

перемножив правые части этих равенств, получим:

отсюда имеем:

(7)

(8)

. (9)

Так как - простое число и делит , то равенство (9) показывает, что или делится на .