Реферат: О полноте систем упражнений по математическому анализу

построить функцию, обладающую набором экстремумов указанных типов и значений;

применить понятие экстремума к решению задач на оптимизацию, уравнений и т.д.

Разумеется, приведенный список может быть пополнен.

Система упражнений, направленная на изучение теоремы, должна обеспечивать усвоение содержания теоремы, обучать применению теоремы, раскрывать связи изучаемой теоремы с другими математическими фактами. Прочному и осознанному запоминанию формулировки теоремы способствует выполнение упражнений, показывающих необходимость каждого из требований, содержащихся в условии, справедливость/несправедливость теоремы, обратной данной (анализ логической структуры теоремы), упражнений на распознавание ситуаций, удовлетворяющих теореме. Например, рассмотрим анализ теоремы Вейерштрасса о монотонной последовательности. Введем обозначения:

A="последовательность монотонно возрастает";

B="последовательность ограничена сверху";

C="последовательность имеет предел".

Тогда на языке логики формулировка теоремы Вейерштрасса записывается следующим образом:. Попытка отказаться от одного из условий приводит к нарушению истинности утверждения. Действительно, истинность утверждения опровергается контрпримером . Данная последовательность ограничена и не имеет предела при . Ложность утверждения следует из контрпримера . Данная последовательность монотонно возрастает, не ограничена сверху и . Таким образом, каждое из условий существенно для истинности теоремы. Попытка сформулировать обратную теорему показывает, что обратное утверждение неверно, но возможно частичное обращение теоремы (если последовательность сходится, то она ограничена). Упражнения на обращение также способствуют уяснению логических категорий "необходимое условие" и "достаточное условие".

Усвоение теоремы включает в себя и усвоение доказательства, поэтому необходимы упражнения, моделирующие способ доказательства, упражнения, направленные на нахождение различных способов доказательства. В системе упражнений должны быть учтены и различные способы работы на каждом из этапов изучения теоремы, причем среди них должны быть такие, которые позволяют сопоставить решение с использованием теоремы и без нее, упражнения на выведение следствий, упражнения, в результате выполнения которых может быть выдвинута некоторая гипотеза (обобщение результатов измерений или однотипных упражнений, выполнение цепочки взаимосвязанных упражнений и т.д.), упражнения на систематизацию теорем.

При изучении алгоритмов в упражнениях должны быть представлены все возможные окончания алгоритма. Например, система упражнений на освоение метода Гаусса решения систем линейных уравнений должна содержать как совместные, так и несовместные системы, среди совместных - определенные и неопределенные, а среди неопределенных - имеющие многообразия решений разных размерностей. Кроме того, система упражнений должна обеспечивать возможность необходимого повторения каждой из ветвей алгоритма. Также желательно предусмотреть разнообразные формулировки упражнений на освоение алгоритма, упражнения на самостоятельное составление заданий.

Система упражнений, направленная на формирование того или иного метода, должна удовлетворять следующим требованиям. Во-первых, она должна обеспечивать усвоение всех приемов, входящих в качестве составных частей в формируемый метод. Например, использование метода геометрических преобразований предполагает владение следующими умениями [7. С.102-116]: 1) строить образы фигур при указанном преобразовании; 2) видеть соответственные при указанном преобразовании точки на соответственных при том же преобразовании фигурах; 3) выделять элементы, определяющие преобразование; 4) строить соответственные при указанном преобразовании точки на заданных произвольно фигурах; 5) использовать специфические свойства преобразований. Каждое из выделенных умений определяет соответствующий ему вид упражнений: 1) упражнения на построение образов фигур при указанном преобразовании; 2) упражнения на выделение соответственных при преобразовании точек на соответственных при том же преобразовании фигурах; 3) упражнения на выделение элементов, задающих преобразование; 4) упражнения на построение соответственных при преобразовании точек на любых заданных фигурах. Во-вторых, система упражнений должна содержать достаточное число заданий для достижения требуемого уровня владения приемом. В-третьих, система упражнений должна формировать умение выяснять, возможно или нет применение того или иного приема в рассматриваемой ситуации. И, наконец, система упражнений должна содержать задания, требующие распознавания типа задачи и осознанного выбора приема ее решения.

Рассматривая требования, предъявляемые к системам упражнений для усвоения понятий, теорем, алгоритмов, методов, мы говорили об отражении в них умений и навыков, связанных с конкретными математическими объектами. Ряд умений и навыков может и не иметь прямого отношения к математическому содержанию изучаемого материала, но их необходимо учитывать при создании системы упражнений. Здесь идет речь об обобщенных умениях: анализ условия, выведение следствий из условия, сопоставление условия и требований задачи, переформулировка требования задачи и т.д. Формирование указанных умений должно осуществляться систематически при изучении каждой темы, поэтому желательно, чтобы система упражнений по той или иной теме содержала упражнения такой направленности.

Приведенный краткий анализ требований, предъявляемых к математическому содержанию упражнений, показывает, что система упражнений по любой теме характеризуется большим объемом и достаточно сложной структурой.

Вторая группа требований, предъявляемых к системам упражнений, носит психологический характер и обусловлена антропоцентрической направленностью современного образования. Целью современного образования является обеспечение полноценного личностного развития каждого учащегося в максимально возможном диапазоне роста его индивидуальных психологических ресурсов [9. С.290]. Необходимость учета желаний и возможностей учащихся приводит, прежде всего, к профильной дифференциации. Но даже в сильном классе спустя некоторое время произойдет расслоение. Оно возникает в результате различий в исходных интеллектуальных возможностях, в складе ума, в отношении к учебе, возможностях наращивания интеллектуальных сил [Там же]. Таким образом, даже в рамках одного класса учитель должен работать одновременно с различными учащимися, организовывая наиболее благоприятные условия для развития интеллектуальных способностей каждого из них. Данное обстоятельство приводит к необходимости дифференциации на основе принципа индивидуализации обучения.

Для реализации уровневой дифференциации система упражнений должна содержать задания различных уровней сложности, что позволяет не только создать оптимальные условия для развития всех учащихся, но и осуществлять уровневое планирование результатов обучения. Согласно требованию восстановительной дифференциации [11. C.33] при создании системы упражнений необходимо заботиться, чтобы с ее помощью можно было восстановить наибольшее число сопутствующих навыков. Кроме этого, нужно учитывать наличие разных темпераментов, типов мышления, видов памяти. Следовательно, система упражнений должна включать задачи для устного и письменного выполнения, для чтения чертежа, задачи-шутки и т.д. (психологическая комфортность - В.В.Гузеев [4. C.55]).

Вновь мы видим, что учет теперь уже психологических закономерностей требует многофункциональной системы упражнений, большой по объему и хорошо структурированной.

С точки зрения деятельности упражнения являются одним из способов организации и управления учебно-познавательной деятельностью учащихся. Система упражнений тем лучше, чем большее число видов работ она позволяет организовывать. Под организационной полнотой системы упражнений будем понимать возможность организации различных форм работы с учащимися при сохранении дифференцированного подхода к ним.

В зависимости от дидактических целей в процессе изучения любого материала можно выделить следующие этапы: повторение, изучение нового материала, закрепление, контроль, коррекция. В системе упражнений должны содержаться упражнения для реализации каждого из указанных этапов. Исходя из конкретного места в учебном процессе, можно выделить несколько разновидностей каждого этапа. Например, контроль может быть текущим и итоговым, тематическим и срезовым. При создании системы упражнений желательно предусмотреть упражнения для проведения контроля указанных типов в виде тестов, контрольных и самостоятельных работ. С учетом требований уровневой дифференциации и индивидуализации контролирующие работы должны быть разноуровневыми и многовариантными (с учетом запасных вариантов). Для закрепления материала необходимо достаточное количество упражнений для тренажа дома и на практическом занятии, аналогичных заданий для освоения алгоритмов, методов решения.

Система упражнений должна давать возможность организовывать различные формы выполнения упражнений: индивидуальная, групповая, коллективная, фронтальная и т.д.

В третий раз, исходя из других предпосылок, мы видим, что указанные требования можно удовлетворить, располагая довольно большой системой упражнений. Количество упражнений еще увеличится, если учесть необходимость обеспечения различных организационных форм уроков и различных методов обучения.

Таким образом, согласно современным требованиям дидактики учитель для эффективной работы должен располагать многофункциональной системой упражнений, большой по объему и хорошо структурированной.

§2. Сравнительный анализ задачников по математическому анализу

Попытаемся выяснить, в какой мере полны традиционно используемые задачники по математическому анализу. Для примера возьмем тему "Экстремум функции".

Понятие экстремума является сложным по двум причинам: во-первых, оно включает в себя два квантора, и, во-вторых, оно не алгоритмично и не позволяет отыскивать точки экстремума. В лучшем случае, оно позволяет доказывать, что предъявленная точка является/не является точкой экстремума. Для освоения этого понятия учащиеся нуждаются в решении многих разнохарактерных упражнений. Рассмотрим коллекции упражнений по данной теме, содержащиеся в задачниках Н.Я.Виленкина [2], И.А.Виноградовой [3], Б.П.Демидовича [5] и Г.Н.Бермана [1]. Подсчитаем в этих задачниках количество упражнений разных типов, оформим полученные данные в виде таблиц и дадим им соответствующую интерпретацию.

Таблица №1

Задачник		Число упражнений
		[1]	[2]	[3]	[5]	Σ
Количество упражнений		17	16	10	28	70
Свойства функции	Функции, не дифференцируемые в точке экстремума	4	3	2	5	14
	Функции с разрывом в точке экстремума	-	1	-	-	1
	Функции, немонотонные в окрестности точки экстремума	-	-	-	2	2

Одним из стандартных и наиболее распространенных упражнений при изучении понятия "экстремум функции" является задание исследовать указанную функцию на наличие экстремума. Таблица №1 показывает, что количество таких заданий невелико: в задачнике [3] содержится 10 упражнений, чуть больше в задачниках [1] и [2] - 17 и 16 соответственно, наибольшее количество упражнений содержится в задачнике [5]. Уже на первом этапе анализа можно сказать, что при использовании традиционных задачников невозможна дифференциация и, тем более, индивидуализация обучения. Действительно, даже 28 упражнений недостаточно для составления индивидуальных заданий для группы в 20-25 человек, тем более, если учесть необходимость охвата данными упражнениями экстремумов разных типов.

Серия примеров из §1 показывает, что непрерывность функции в точке экстремума, дифференцируемость функции в точке экстремума, монотонность функции в односторонней открытой окрестности точки экстремума не являются ни необходимыми, ни достаточными условиями наличия экстремума. Во избежание возникновения и упрочения упрощенных представлений о сути понятия экстремума в упражнениях должны быть представлены функции, обладающие различными сочетаниями свойств в точке экстремума и ее окрестностях. Рассматриваемые задачники не отличаются большим разнообразием в данном отношении. Так, §9 задачника [2] содержит только одну функцию с разрывом в точке экстремума (№314.2) и три функции, не дифференцируемые в точке экстремума (№№ 303.2, 308.2, 309.2), одна из которых является модификацией функции , а две другие - модификациями функции . В задачниках [3] и [1] все предлагаемые функции непрерывны в точках экстремума, а не дифференцируемых среди них две (№107 б,д) и четыре (№№ 1171, 1174, 1177, 1196) соответственно. И вновь недифференцируемые функции являются модификациями функций и . Необходимо отметить, что в выше рассмотренных задачниках [1,2,3] все функции монотонны в открытых односторонних окрестностях экстремальных точек. В задачнике [5] содержится пять функций, не дифференцируемых в точке экстремума (№№ 1421, 1422, 1427, 1428, 1444), и нет ни одной функции с разрывом в точке экстремума. В дополнение к стандартным примерам недифференцируемых функций в №1444 предлагается исследовать функцию . Также в данном задачнике приведены три функции, немонотонные в односторонних открытых окрестностях точки экстремума (№№ 1427, 1428). Ни в одном из задачников не представлены функции, построенные на основе простейших неэлементарных функций , , .