Реферат: Однофакторний і двофакторний дисперсійний аналіз

Під рівнем фактора розуміють певну його міру.

Наприклад, якщо фактором є добрива, які вносяться в землю з метою збільшення врожайності сільськогосподарської культури, то рівнем фактора в цьому разі є кількість добрива, що вноситься в грунт;

— загальна середня величина ознаки X;

α _j — ефект впливу фактора на значення ознаки X на j -му рівні;

ε _ij — випадкова компонента, що впливає на значення ознаки X в i -му експерименті на j -му рівні.

При цьому М(ε _ij ) = 0 і ε _ij , як випадкові величини мають законрозподілу ймовірностей N(0;σ² ) і між собою незалежні (К _ij =0 ).

Складнішою моделлю аналізу є вивчення впливу на результати експерименту кількох факторів. Зокрема при аналізі впливудвох факторів структура моделі набуває такого вигляду:

,

де x_ijk – значення ознаки Х в i -му експерименті на j -му рівні впливу фактора A і на k -му рівні впливу фактора В; — загальна середня величина ознаки X ; α _i — ефект впливу фактора А на i -му рівні, β _j — ефект впливу фактора В на j -му рівні; γ _ij — ефект одночасного впливу факторів A і В ; ε _ijk — випадкова компонента.

У разі проведення дисперсійного аналізу досліджуваний масив даних, одержаних під час експерименту, поділяють на певнігрупи, які різняться дією на результати експерименту певних рівнів факторів.

Вважається, що досліджувана ознака має нормальний закон розподілу, а дисперсії в кожній окремій групі здобутих значень ознаки однакові. Ці припущення необхідно перевірити.

2. Однофакторний дисперсійний аналіз

Нехай потрібно дослідити вплив на ознаку Х певного одного фактора. Результати експерименту ділять на певне число груп, які відрізняються між собою ступенем дії фактора.

Для зручності в проведенні необхідних обчислень результати експерименту зводять в спеціальну таблицю:

Таблиця. 1

Відповідно до моделі однофакторного дисперсійного аналізу необхідно визначити дні дисперсії, а саме: міжгрупову (дисперсію групових середніх), зумовлену впливом досліджуваного фактора на ознаку X. і внутрішньо групову, зумовлену впливом інших випадкових факторів.

Загальна дисперсія розглядається як сума квадратів відхилень:

.

Тоді поділ загальної дисперсії на компоненти здійснюється так:

Для того щоб мати виправлені дисперсії, необхідно кожну зі здобутих сум поділити на число ступенів свободи.

Так, для загальної дисперсії

виправлена дисперсія дорівнюватиме

Виправлена дисперсія S ₁ ² , що характеризує розсіювання всередині групи, зумовлене впливом випадкових факторів, обчислюється за формулою:

,

де N-р= k ₁ є числом ступенів свободи для S ₁ ² , оскільки прицьому використовується р співвідношень при обчисленні групових середніх, j =1, p /

Виправлена дисперсія S ₂ ² , що характеризує розсіювання груповихсередніх відносно загальної середньої , яке викликане впливом фактора на результат експерименту ознакиX , обчислюється за формулою: